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摘 要：基于自旋反转模型（SFM）理论研究1550nm垂直腔面发射激光器（VCSEL）在光电正反馈下的非线性动力学特性。在反馈延迟时间和反馈强度的参数空间，画出表示各种动力学状态的色图，从图中可以清晰看出各种状态的演变。同时随着反馈延迟时间变化，画出激光器输出功率极大值随光电反馈延迟时间变化的分岔图。仿真结果表明，通过改变光电反馈的延迟时间，1550nm垂直腔面发射激光器沿着一种准周期路径最终进入混沌状态。
关键词：自旋反转模型（SFM）；垂直腔面发射激光器（VCSEL）；非线性动力学；光电正反馈
引言
垂直腔面发射激光器（VCSEL）相对于常规的边发射半导体激光器（EEL）而言具有体积小、阈值电流低、发散角小、可单纵模光输出、易与光纤耦合、易集成等优点[1-3]，在光通信、光互联和光存储等领域具有广阔的应用前景。近年来的理论和实验研究已表明垂直腔面发射激光器在各种外部扰动（光注入、光反馈和光电反馈）的作用下呈现出了丰富的动力学现象[4-5]。这些现象主要包括偏振转换和双稳、注入锁定以及各种动力学状态（单周期、准周期和混沌）。相比于光注入和光反馈，光电反馈由于自身易于电控和对相位变化的稳定性使它变得更加灵活和有效。光电反馈主要分为光电正反馈和光电负反馈。在光电负反馈中，反馈电流与偏置注入电流相减，而在光电正反馈中，反馈电流与偏置注入电流相加。光电反馈作用下垂直腔面发射激光器的动力学特性已经被研究，然而这些研究主要集中于短波长半导体激光器（～800-1000nm），对于长波长半导体激光器的研究较少。基于此，文章基于自旋反转模型（SFM），数值分析了光电正反馈作用下1550nm-VCSEL的非线性动力学特性以及各动力学态的演化。
1 理论模型
光电正反馈作用下垂直腔面发射激光器的原理图如图1所示，其中虚线表示光路径，实线表示电路经。激光器的输出经过可变衰减器（VA）和光电探测器（PD）后，激光器输出的光信号转化为电信号，然后经过电子放大器（EA）后与激光器的偏置注入电流Idc相加一起注入到激光器中。当光电反馈系统中注入电流不变时，那么这个系统可以控制的参数主要有反馈强度和反馈延迟时间。通过调节这两个参量，可以使激光器的输出进入混沌状态。
基于自旋反转模型（SFM），通过在电流中引入一个光电反馈项，SFM模型可以扩展得到光电反馈作用下的垂直腔面发射激光器的速率方程模型，具体的速率方程如下：
式中，下标x和y分别代表X和Y两个线性偏振模式。E表示光场慢变振幅，N为总的载流子密度，n表示两个自旋反转载流子密度差值，k为光场衰减率，α为线宽增强因子，γe为总的载流子衰减率，γs为自旋反转速率，γa和γp分别代表有源介质线性色散效应和双折射效应，τ表示反馈延迟时间，μ为归一化注入电流，η为反馈系数，p="Ex|2+|Ey|2为归一化输出功率，P0为激光器自由输出功率，βsp=10-6是自发辐射噪声强度，ξ1和ξ2为两个相互独立的高斯白噪声源，其平均值为0，方差为1。
2 仿真分析
利用四阶龙格库塔方法对以上方程进行数值求解，数值模拟所用的参数如下：γe=1ns-1，γp=192.1ns-1，γa=1ns-1，γs=1000ns-1，κ=300ns-1，andα=3。
自由运行时1550nm-VCSEL的功率-电流（P-I）曲线如图2所示，其中虚线表示激光器输出x偏振模式，实线表示激光器输出y偏振模式，激光器的归一化注入电流范围为0-5。可以从图中看出，激光器的阈值电流为1。当注入电流大于1时，激光器的输出为y偏振模式，x偏振模式一直处于被抑制状态。
图3画出了当标准注入电流μ固定为2.5时，在（τ，η）参数空间下基于光电正反馈的1550nm-VCSEL计算出的色图。由图可以看出，随着反馈延迟时间或者反馈强度的增大，光电正反馈系统的动力学变得复杂了，并且在长延迟时间和较大反馈区域能观察到混沌脉冲状态。显而易见，光电正反馈系统输出经过单周期RP状态，再到准周期QP状态，最后到达混沌CP状态这一准周期路线到达混沌。
图4画出了1550nm-VCSEL输出功率极大值随光电反馈延迟时间变化的分岔图。图中光电反馈强度η和归一化注入电流μ分别为0.08和2.5。分岔图通过根据峰值序列的最大最小值获得，这样使得不同的脉冲状态能被轻易的区分开。从图4中可以看出，当反馈延迟时间非常小时，光电正反馈作用下的1550nm-VCSEL工作在RP状态。通过提高反馈延迟时间，VCSEL先进入QP状态，最后再进入到CP状态。一般地，光电正反馈系统通过增加反馈延迟时间来增加动力学行为的复杂性。为了识别这些状态，需要研究它的时间序列，功率谱和相图。
图5（a）-（c）显示了不同反馈延迟时间下的仿真结果，即
1550nm-VCSEL下相应不同非线性区域的时间序列，功率谱和相图如图所示。光电反馈强度和归一化注入电流分别为η=0.08和μ=2.5，而τ是变化的。当τ=0.5ns时，如图5（a）所示，系统处在RP状态，图中时间序列显示出了一系列的强度和间隔不变的规则脉冲。而相应的功率谱在f≈4.65GHz有一个明显的峰值，该值非常接近1550nm-VCSEL的自由震荡频率fRO=[2k？酌e（？滋-1）]1/2/2？仔=4.75GHz。单一圆点可以在相图中看到。当反馈延迟时间τ增加到1.5ns，如图5（b）所示，1550nm-VCSEL进入到QP状态。脉冲强度是调制的，并且在时间序列上可以看到一个慢变的包络。准周期状态也可以通过功率谱和相图来验证，能够分别看到不同级别的跳动和一个清晰的环。随着反馈时间τ的继续增大，准周期状态消失。最后，当τ=2ns时，1550nm-VCSEL输出进入到CP状态，如图5（c）所示，可以看到在时间序列上有类似于噪声的强度波动，而在相图上则是随机的点。同时，相比于其他的状态，峰值序列的功率谱显示出了加强的带宽。
3 结束语
文章基于SFM模型，对光电正反馈作用下1550nm-VCSELs的非线性动力学特性进行了研究。通过结合激光器的色图，分岔图，以及输出的时间序列、功率谱和相图、可以得出光电正反馈下1550nm-VCSEL呈现了从单周期经历准周期进入混沌的演化路径。文章的研究一方面有助于了解在实际应用过程中1550nm-VCSEL可能遭受到的外部光电反馈对其工作特性的影响；另一方面，针对某些应用领域需要通过人为调控使1550nm-VCSEL工作在特定的动力学状态，文章的工作具有一定的指导意义。
参考文献
[1]Ohashi K， Nishi K， Shimizu T， et al. On-chip optical interconnect[J]. Proceedings of the IEEE， 2009，97（7）：1186-1198.
[2]Shacham A， Bergman K， Carloni L P. Photonic networks-on-chip for future generations of chip multiprocessors[J]. Computers， IEEE Transactions on， 2008，57（9）：1246-1260.
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作者简介：吴论生（1974-），男，山东临朐人，讲师，主要从事光通信方面的教学与研究工作。