2024年a∧tlna-a=0(7篇)

时间：2024-10-17 09:36:01 来源：网友投稿

篇一：a∧tlna-a=0篇二：a∧tlna-a=0

　　毕业设计

　　设计题目

　　一种用于射频接收机的2.4GHz低噪声放大器设计

　　学生姓名

　　易昕

　　专业班级

　　微电子10-3班

　　指导教师

　　尹勇生

　　院系名称

　　电子科学与应用物理学院

　　学

　　号

　　2010522.专业资料.

　　2014年06月08日

　　中文摘要

　　.........................................................................................................................................................................1英文摘要

　　.........................................................................................................................................................................2第一章

　　绪论

　　...................................................................................................................31.1.1课题背景

　　...........................................................................................................................................31.1.2CMOS低噪声放大器研究现状

　　................................................................................................41.1.3研究意义

　　...........................................................................................................................................51.2论文主要工作及组织结构

　　.......................................................................................................................6第二章

　　LNA的器件特性和噪声模型

　　....................................................................................................................72.1MOSFET器件模型及特性

　　........................................................................................................................72.2器件噪声

　　.........................................................................................................................................................82.2.1热噪声................................................................................................................................................92.2.2闪烁噪声

　　...........................................................................................................................................92.2.3散粒噪声

　　.........................................................................................................................................102.2.4爆米噪声

　　.........................................................................................................................................102.3MOS器件噪声分析

　　..................................................................................................................................112.3.1漏极电流噪声

　　................................................................................................................................112.3.2栅噪声..............................................................................................................................................12.专业资料.

　　2.4二端口网络噪声理论及优化噪声系数的LNA匹配技术

　　............................................................12第三章

　　低噪声放大器的主要技术参数

　　..............................................................................................................203.1引言

　　...............................................................................................................................................................203.2噪声系数

　　......................................................................................................................................................213.3S参数

　　............................................................................................................................................................223.3.1双端口网络的S参数介绍

　　........................................................................................................223.3.2S参数方程

　　......................................................................................................................................223.4功率增益

　　......................................................................................................................................................243.5线性度

　　..........................................................................................................................................................243.6稳定性指标

　　.................................................................................................................................................263.7功耗

　　...............................................................................................................................................................27第四章

　　LNA电路结构的分析和选择

　　..................................................................................................................274.1输入端并联电阻的共源放大器

　　............................................................................................................274.2并联-串联放大器

　　......................................................................................................................................294.3共栅放大器

　　.................................................................................................................................................314.4电感源极负反馈放大器

　　..........................................................................................................................324.4.1电感源极负反馈放大器的结构

　　...............................................................................................324.4.2增益

　　..................................................................................................................................................344.4.3功率约束噪声优化

　　......................................................................................................................35第五章

　　LNA电路设计与仿真

　　...............................................................................................................................385.1引言

　　...............................................................................................................................................................38.专业资料.

　　5.2设计指标要求

　　............................................................................................................................................395.3单端低噪声放大器的设计

　　.....................................................................................................................395.3.1主体电路设计

　　................................................................................................................................405.3.2输入匹配

　　.........................................................................................................................................455.3.3输出匹配

　　.........................................................................................................................................475.3.4偏置电路

　　.........................................................................................................................................495.4仿真结果及分析

　　........................................................................................................................................50第六章

　　总结与展望...................................................................................................................................................55致谢

　　................................................................................................................................................................................56参考文献

　　.......................................................................................................................................................................5.专业资料.

　　.专业资料.

　　一种用于射频接受机的2.4GHz低噪声放大器设计

　　摘

　　要：

　　人们生产、生活的需要促进了无线通信技术的蓬勃发展，对射频模块的性能要求也越来越高。近年来，深亚微米CMOS工艺的不断进步和射频集成电路对低成本、低功耗、高集成度的追求使得用CMOS工艺设计高性能的射频集成电路成为了研究热点。低噪声放大器（LNA）是射频前端电路的典型模块，它的性能直接决定了接收机的整体性能。作为接收机系统的第一级，LNA主要是将天线接收到的微弱信号，将其放大供后级模块电路进行信号处理，同时要求引入很小的噪声，其性能的优良对接收机系统起着至关重要的作用。

　　本文研究的是2.4GHzCMOS低噪声放大器。首先对MOSFET模型和噪声特性进行分析，并给出了阻抗匹配下噪声性能优化的方法；其次，对低噪声放大器的各个指标参数进行了理论推导，并对现有的低噪声放大器的各种拓扑结构进行分析和比较，从中选择了源简并电感负反馈共源共栅结构进行LNA的设计。

　　最后，本文采用TSMC0.25umRFCMOS工艺完成了一个2.4GHz的单端电感源极负反馈CascodeLNA模块的设计，详细地给出了设计步骤，并用ADS进行了仿真。仿真结果为，IIP3=12.905dBm,P-1dB=-21.83dBm，NF=4.07dB，散射参数为：S11=-28.73dB,S22=-22.85dB,S21=21.79dB，功耗为7.6mW，仿真结果表明，本文设计的LNA性能良好并符合设计要求。

　　关键词：

　　CMOS低噪声放大器（LNA），噪声系数，电感源极，ADS仿真软件

　　.专业资料.

　　Designofa2.4GHzCMOSLNAforRFRAbstract：

　　Accordingtotheneedsofpeople’slife,theapplicationofwirelesscommunicationtechniquehasbeenflourishingallthetime.Inrecentyears,

　　thedevelopmentofCMOSprocessingtechnologyandtheRFICrequirementoflowcost,lowpowerdissipationandhighintegrationhasmadetheresearchofahigh-performancedrawmuchmoreattention.LowNoiseAmplifier(LNA)isatypicalpartoftheRFFrontEnd,itsperformancedeterminesthewholereceiver’sperformance．

　　Asthefirststageofthereceiver,LNAmusthavealownoisefigure(NF)andabiggaintoamplifytheweaksignalcomingfromtheantenna.Thisthesisfocusesonthedesignof2.4GHzCMOSLNA.First,itanalyzesthecharacteristicsandthenoisemodelofMOSFET,givingthemethodtooptimizethenoiseperformanceunderimpedancematchingconditions;Next,thedetailindexesoftheLNAareexplainedandallkindsoftheLNAtopologyarecomparedtodiscusstheiradvantagesanddisadvantages.TheinputinductivesourcedegeneratedCascodetopologyisourchoice.

　　Atlast,a2.4GHzsingleendinputinductivesourcedegeneratedCascode.专业资料.

　　LowNoiseAmplifier(LNA)withTSMC0.25umRFCMOSprocessisfulfilledanddesignstepshasbeengiventoo,usingADSforsimulation.Theresultsofsimulationare:IIP3=12.905dBm,S22=-22.85dB,P-1dB=-21.83dBm,NF=4.07dB,S11=-28.73dB,S21=21.79dB,Power=7.6mW,whichshowsthattheLNAdesignofthispaperhasgoodperformanceandmeettherequirement.Keywords：

　　CMOSLowNoiseAmplifier,NoiseFigure,InductiveSource,ADSSimulationSoftware

　　第一章

　　绪论

　　1.1课题研究背景现状以及意义

　　1.1.1课题背景

　　在近十年里，通信技术获得了惊人的发展，而无线通信技术是其中发展最为迅速的一个分支。今天，无线通信技术已经广泛应用到人们生活中的各个领域，如：高速语音、数据与图像传输、蜂窝式个人通信与基站、多点多址分布系统、低轨道卫星移动通信、智能交通系统和多媒体移动接入通信系MMACS（MultimediaMobileAccessCommunicationSystem）等等。特别是近几年来，高速无线互联网、第三代移动通信（3G）以及利用MPEG标准实现无线视频图像传输的卫星服务等技术的迅猛发展，使得无线通信技术得到了飞速发展。

　　射频前端中低噪声放大器（Lownoiseamplifier，LNA）模块是射频接收机中的一个重要组成部分，其主要功能是将天线接收到的微弱信号进行放大，同时要求引入的噪声较低，并将信号输出供给后级的混频器处理，如果信号在此级引入较大的噪声或没有将信号放大，那么其后的射频模块将无法对有用信号进行处理。

　　.专业资料.

　　因此，低噪声放大器的性能对整个射频接收机系统，无线局域网WLAN系统，WCDMA系统和我国的3G移动通信系统TD-SCDMA系统的性能都有着重要的影晌。并且，随着RFCMOS工艺性能的提高，用RFCMOS工艺实现无线通信射频接收机系统中的射频前端低噪声放大器不仅必要而且可能。

　　1.1.2CMOS低噪声放大器研究现状

　　长期以来，射频集成电路实现工艺是以GaAs、硅双极Bipolar/SiGeBiCMOS工艺为主的。主要是由于GaAs具有较好的高频特性，高隔离度和较低的损耗；硅双极Bipolar具有速度和精度上的优势；SiGeBiCMOS具有高的截止频率[1]。这些工艺的特点是成本太高和功耗较大。CMOS工艺与这些工艺相比，尽管有着噪声稍大和高频性能略差的劣势，但是它独有的低成本、低功耗和易于进行超大规模集成电路设计等优点，很快成为射频集成电路设计的主流工艺[2]。并且随着对CMOS工艺研究的不断深入和芯片制造技艺的逐渐提高，CMOS传统的频率和噪声特性的劣势也逐渐得到改善[3]。故CMOS射频集成电路成为当前的研究热点。

　　国内的射频电路研究主要是基于GaAs或SiGe工艺，采用CMOS工艺实现射频集成电路RFIC的研究工作只是在近些年才在部分高校、研究所和公司中开展开来。其中较为有名的研究单位有东南大学射频与光电集成电路研究所、复旦大学微电子学系、重庆西南集成电路设计中心、上海鼎芯半导体、西安电子科技大学微电子研究所和西安华讯等。国内集成电路发展的需要，促进了国家对IC行业加大扶持力度，现国内已建立了一条完整的工艺生产线，如上海的中芯国际SMIC0.18um工艺线已经投入生产。值得一提的是我国台湾在CMOSRFIC研发和生产制造能力在国际上已经具有了很强的竞争力。台积电(TSMC)，台联电(UMC)等芯片加工厂都有完整和先进的工艺流水线。

　　国外学者也对低噪声放大器作了广泛而深入的研究，尽管取得了不小的成果，但LNA的设计中仍存在许多需要研究和解决的难题[4]，如功耗问题——低噪声则要求工作电流较大，故功耗较大；短沟道效应使设计复杂化。美国学者DerekK.Shaeffer和ThomasH.Lee[5]

　　对深亚微米下的LNA的噪声性能作了详细研究，提出了功耗约束下的噪声优化方法，现被许多的研究者[6][7]所采用。除此之外还有等高线法即功耗约束下噪声和功率同时匹配方法也被大部分学者所采用[8][9]。在文献.专业资料.

　　[10][11]中使用两路不同偏置的差分跨导，将非线性项抵消来提高线性度。同时还有用到亚阈值区MOSFET补偿的技术[12]，即利用亚阈值区器件的三阶跨导与强反型器件的三阶跨导相抵消从而提高LNA的线性度。

　　在选取CMOS工艺时，MOS管器件的高精度建模问题和高性能高品质片上电感的实现问题依然是需要不断研究的课题[5]。世界主要射频集成电路设计企业对CMOS工艺的电路设计和制造进行了深入的研究，各种相关的科技论文不断涌现，使CMOS射频集成电路的性能不断得到改善和提高[13]。

　　1.1.3研究意义

　　对于无线移动通信机，如果按照电路结构来划分，可分为如图1.1所示的射频级和基带级两大部分。基带级处理基带信号，射频级处理射频信号。

　　图1.1接收发送器的射频级和基带级

　　进一步将上图细化成典型的模拟通信的收、发射机或者数字通信的收、发射机（如图1.2和图1.3所示）。

　　图1.2模拟射频系统电路方框图

　　.专业资料.

　　图1.3数字系统电路方框图

　　对于图1.2和图1.3的模拟或数字通信系统，位于接收机前端和天线之后的低噪声放大器，顾名思义，要求尽可能的低噪声，并且在降频转换之前对收到的初级信号（通常是微伏级别幅度）进行放大，增加初级信号的强度。由于微波系统的噪声系数基本上取决于前级放大器的噪声系数，所以它的噪声特性将大大影响整个系统的噪声性能。同时，它的增益将决定对后级电路的噪声抑制程度，它的线性度将对整个系统的线性度和共模噪声抑制比产生重要影响，而且它是接受机的主要耗能部件。因此，研制出性能优良的微波低噪声放大器具有重要意义。

　　1.2论文主要工作及组织结构

　　论文主要是对射频接收机系统中的第一级模块-低噪声放大器（LNA）进行了大量的研究与分析。其中主要内容如下：

　　（1）

　　对CMOS器件模型和噪声特性进行了分析，同时还对二端口网络的噪声理论以及优化噪声系数的LNA匹配技术进行了详细的研究和推导。

　　（2）

　　介绍了低噪声放大器的主要性能指标，包括噪声系数、S参数、增益、功耗、线性度等。

　　.专业资料.

　　（3）

　　针对现主流的低噪声放大器的各种拓扑结构，进行了重要参数的理论分析、推导和对比，之后选择源简并电感型Cascode共源放大器完成设计和仿真。达到了预期的性能指标。

　　本论文主要围绕上述完成的工作进行讲述，具体安排如下：

　　第一章主要对课题研究背景、研究现状、研究意义和本论文完成的主要工作做一些简单的介绍。

　　第二章主要研究和分析了CMOS器件模型、噪声特性以及二端口网络的噪声理论。

　　第三章介绍了低噪声放大器的主要性能指标。

　　第四章介绍了低噪声放大器的各种拓扑结构并进行了对比研究，确定采用源简并电感型Cascode共源进行放大器的设计并对其噪声性能做了重要推导。

　　第五章详细介绍了低噪声放大器的分析设计和仿真。

　　第六章，总结和展望，对本课题的研究进行总结，并给出提高系统性能的意见。可见其中仍存在很多的问题值得探索研究，且该领域还有很大的发展前景。

　　第二章

　　LNA的器件特性和噪声模型

　　2.1MOSFET器件模型及特性

　　MOS模型[25]从只适用于长沟道器件模型发展到由短沟/窄沟等小尺寸引起的高阶效应的SPICELevel3模型。当前产业界用的最多的MOS器件模型为UCBerkelye开发的BSIM模型，因获得绝大多数的商用电路模拟器的支持而被广泛应用。

　　MOSFET等效模型电路如图2.1所示，图中Cgs、Cgd分别表示源端，漏端的交迭电容；RG、Rs、RD分别表示栅极、源极和漏极的寄生串联电阻；DSB,DDB

　　分.专业资料.

　　别为源极和漏极PN结二极管；另外图中还包含了一个衬底电阻网络，用来等效衬底藕合对晶体管特性的影响。

　　GRGCgsSRSDSBBRSBM1CgdRDDDDBRDBB

　　图2.1MOS管的等效模型电路

　　在文献[14]中有所论述，这里四个端口的电阻元件是值得关注的。

　　栅电极分布电阻：在射频集成电路中，晶体管的沟道宽度W一般比沟道长度L大得多，整个晶体管可以看成是由无数个小尺寸的元器件阵列沿着栅极分布。当在栅极的某一点加上电压时，该信号开始对每一个小尺寸晶体管的栅电容进行充电。分布的栅电阻和栅电容组成的RC

　　阵列对信号产生延迟作用，根据小尺寸晶体管位置与信号电压位置的不同，各个晶体管产生的延迟皆不相同[15]。

　　源端和漏端串联电阻：源端和漏端串联电阻Rs,在BSIM3v3模型中也有包含，然而它们只是在计算直流I-V特性时才会考虑，对交流仿真来说这两个电阻是被忽略的。射频应用中Rs、RD

　　引入的高频极点将不可忽略，所以精确的RFMOS模型必须将这两个串联电阻包括在交流小信号模型中。

　　衬底电阻网络：衬底电阻网络是MOS模型一个重要特征，它会使输出阻抗的实部随频率的增加而逐渐下降，这对射频电路性能有很大的影响，比如电压、功率放大倍数降低或者输出匹配产生变化等等[16]。所以衬底电阻网络对MOS模型的精确性十分重要。

　　2.2器件噪声

　　当接收机从天线接收到非常微弱的信号时，只有通过对信号进行低噪声放大后，才能进一步对信号进行处理，起到这个功能的就是低噪声放大器[17]。低噪声.专业资料.

　　放大器的噪声性能是我们关心的重点，因此本节主要分析器件中的各类噪声。它包括：热噪声、散粒噪声、闪烁噪声和爆米噪声，用噪声功率谱密度来衡量。

　　2.2.1热噪声

　　热噪声（ThermalNoise）的本质是布朗运动的结果：在导体中热激励的电荷载体构成了随机变化的电流，它引起了随机的电压，因此这类热噪声与绝对温度有关。用统计的方法表示这类噪声的特性，一个称为“有效噪声功率”（Availablenoisepower）的量由下式给出：

　　PNA?kT?f（2-1）

　　式中，k是玻尔兹曼常数（大约为1.38*10-23J/K），T是绝对温度用K表示，而Δf是测量范围内的噪声带宽，用赫兹来表示。从上式可以看出总的热噪声功率谱密度与温度和测量带宽有关，与频率无关。因此，在1MHz到2MHz之间的热噪声功率与在1GHz在到1.001GHz之间的热噪声功率是相同的。由于这种特性，热噪声常常类比于白光而被描述为“白噪声”[18]。

　　噪声带宽定义为所需求的电路网络增益G(f)对全部频率的积分，并用最大增益Gmax归一化：

　　?f?（2-2）

　　1Gmax??0G(f)df

　　在CMOS集成电路器件中，电阻和MOS管都存在热噪声。

　　2.2.2闪烁噪声

　　闪烁噪声也称为1/f噪声，常常出现在有源器件中。这种噪声的特点是谱密度没有限制地随频率的增加而减小[19]。通常利用电荷捕获现象来解释在MOS管中的1/f噪声。由于MOS管栅氧化层与硅衬底界面处是硅单晶的边界，因而出现许多.专业资料.

　　“悬挂”键，产生额外的能态。当电荷载流子运动到这个界面时，一些载流子将被随机俘获，随后又被这些能态释放，使得漏电流中产生“闪烁”噪声。

　　与热噪声不同的是，闪烁噪声的平均功率不容易预测。对于MOS管来说，闪烁噪声和硅晶体的表面清洁度、晶格缺陷密度、器件的尺寸以及器件中的电流大小有关。其电流均方值为：

　　in（2-3）

　　2Ia?K1b?f(a?1,b?1)

　　f其中I是流过器件的直流电流,f是器件的工作频率，a是介于O．5～2的常数，b是约等于l的常数，K是和与具体器件物理有关的常数，因器件而异。

　　2.2.3散粒噪声

　　散粒噪声（ShotNoise）是另一种白噪声，它的产生原因是由于电子电荷的粒子性。当电荷流过势垒时，导体将不再处于热平衡状态，此时就会导致散粒噪声的产生，通常出现在二极管、MOS管和双极性晶体管中。散粒噪声电流取决于电子电荷，总的DC电流以及带宽，均方值为：

　　in（2-4）

　　2?2qIDC?f

　　式中，in是噪声电流均方值，q是电子电荷（约1.6*10-19C），IDC是DC电2流，单位为安培，而Δf仍然是噪声带宽，单位为赫兹。

　　2.2.4爆米噪声

　　爆米噪声（PopcornNoise)本质上是一种产生复合噪声，它的重复频率在音频附近，典型的表现形式为不等长、但等高的随机脉冲，也叫做脉冲噪声。其均方值为：

　　.专业资料.

　　（2-5）2Ic?K2?ff1?()2f其中，I是流过器件的直流电流，f是器件的工作频率，f0是和产生噪声有关的特定频率，K2是和器件物理参数有关的常数，c是介于O．5～2的常数。

　　2.3MOS器件噪声分析

　　2.3.1漏极电流噪声

　　由于MOSFET在本质上是电压控制的电阻，所以同样具有热噪声。特别是在三极管（线性）区，漏源沟道可以用一个线性电阻表示，因此其噪声是与电阻值相应的。MOS管的噪声主要是由沟道电流形成的沟道热噪声。可表示为：

　　in?4KT?gd0?f

　　（2-6）

　　其中gd0为漏源电压VDS为零时的漏源跨导，为沟道热噪声系数，当VDS=0时γ=l。对饱和长沟道器件，gd0=gm，γ=2／3；而在亚微米器件中，gd0/gm>1,γ>1。其电路模型如下图所示：

　　图2.2漏极电流噪声模型

　　.专业资料.

　　2.3.2栅噪声

　　除了漏极电流噪声以外，沟道电荷的热激励还有另外一个重要的结果——栅噪声。波动的沟道电势通过电容耦合到栅端，引起栅噪声电流。尽管这一噪声在低频时可忽略，但在射频时却占主要地位。VanderZiel证明了栅噪声可以表示成：

　　2ing式中，参数gg为：

　　?4KT?gg?f

　　(2-7)gg?2Cgs?5gd(2-8)

　　2VanderZiel给出了长沟道器件中栅噪声系数δ的值约为4/3(为γ的两倍)。

　　由公式（2-7）和公式（2-8）直接得出的栅噪声电路模型为：

　　图2.3MOSFET栅极噪声模型

　　另一种形式的栅噪声模型：

　　图2.4另一种形式的栅噪声模型：

　　2.4二端口网络噪声理论及优化噪声系数的LNA匹配技术

　　为了分析电路噪声的影响，必须建立一个噪声电路模型——无噪声的电路加上外部噪声源。对于一个带有内部噪声源的双端口网络(图2.5(a)，这些噪声源的.专业资料.

　　作用可以通过分别串联在输入输出端的外部噪声电压源Vn1和Vn2来表示(图2.5(b))。

　　V1?Z11I1?Z12I2?Vn1（2-9）

　　V2?Z21I1?Z22I2?Vn2（2-10）

　　方程（2-9）和（2-10）表明，Vn1和Vn2的大小取决于噪声双端口网络的开路测量值。当输入和输出端开路时(I1=I2=0)，它们遵循方程（2-11）和（2-12)：

　　Vn1?V1I（2-11）

　　1?I2?Vn2?V2I（2-12）

　　1?I2?图2.5(a)带有内部噪声源的无噪声双端口网络

　　图2.5(b)加外部电压噪声源的无噪声双端口网络

　　另一种表示噪声双端口网络的模型如图2.6所示，外部噪声源是电流噪声In1和In2。方程(2-13)和(2-14)表述噪声分离的双端口网络：

　　.专业资料.

　　I1?Y11V1?Y12V2?In1（2-13）

　　I2?Y21V1?Y22V2?In2（2-14）

　　图2.6加外部电流噪声源的无噪声双端口网络

　　图2.6中，In1和In2的大小取决于噪声双端口网络的短路测量值，如下所示：

　　In1?I1V（2-15）

　　1?V2?In2?I2V1?V2?（2-16）

　　除了图2.5和2.6所示这些方法外，一个便于噪声分析的表示方法是将噪声源放在网络输入端(图2.7)。

　　图2.7输入端加外部噪声源Vn和In的无噪声双端口网络。

　　由ABCD参数表述图2.7中噪声分离的双端口网络，如方程（2-17）和（2-18）所示：

　　V1?AV2?B(?I2)?Vn

　　（2-17）

　　I1?CV2?D(?I2)?In

　　（2-18）

　　.专业资料.

　　图2.7中的噪声源Vn和In与图1b中的噪声源Vn1和Vn2之间的关系推导如下。采用Z参数表述图2.7中噪声分离的双端口网络：

　　V?Z11(I1?In)?Z12I2?Vn?Z11I1?Z12I2?(Vn?Z11In)

　　（2-19）

　　将方程（2-9）和（2-10）与方程（2-19）和（2-20）相比较，得出：

　　Vn1?Vn?Z11In

　　（2-21）

　　Vn2??Z21In

　　（2-22）

　　由此，求解方程组(2-21)和(2-22)，得出Vn和In：

　　Vn?Vn1?（2-23）

　　Z11Vn2Z21In??Vn1（2-24）

　　V21连接在噪声双端口网络(图2.8)的信号源采用电流源加导纳Ys表示。假设来自信号源的噪声与来自双端口网络的噪声不相关。这样，噪声功率正比于噪声分离放大器输入端的短路电流的均方值(表示为/ISC2)；单独来自信号源的噪声功率正比于信号源电流的均方值(/IS2)。由此，噪声系数F由下式决定：

　　2F?ISCIS

　　（2-25）

　　图2.8放大器的噪声模型

　　由于Isc??Is?In?VnYs，根据方程（2-26）可得出Iac均方值：

　　22Isc?(?Is?In?VnYs)?Is?(In?VnYs)?2Is(In?VnYs)

　　22（2-26）

　　.专业资料.

　　由于信号源噪声和双端口网络噪声是不相关的：

　　Is?(In?VnYs)?（2-27）

　　则方程（2-26）简化为：

　　Isc?Is?(In?VnYs)

　　22（2-28）

　　将方程（2-26）代入方程（2-25），得出：

　　F?1?(In?VnYs)2IS（2-29）

　　由于外部源Vn和In之间存在一些关联性，所以In可以表示为两项之和：一个与Vn无关(Inu)，另一个与Vn相关(ISC)。即：

　　In?Inu?Inc

　　（2-30）

　　更进一步，通过相关导纳Yc可以定义Inc和Vn之间的关系如下：

　　Inc?YcVn

　　（2-31）

　　Yc不是电路中真正的导纳，它由方程（2-31）定义，从方程（2-30）可知：

　　In?Inu?YcVn

　　（2-32）

　　方程（2-32）乘以Vn*，取平均值，且注意到InuVn*?0：

　　.专业资料.

　　InuVn（2-33）

　　*?YcVn或

　　Yc?2InVnVn2*

　　将方程（2-32）代入方程（2-29），得出F的下列表达式：

　　F?1?(Inu?(Yc?Ys)Vn)2I2S（2-34）

　　信号源产生的噪声与信号源电导关系如下：

　　I2s?4kT0GBB

　　（2-35）

　　这里，Gs=Re[Ys]。噪声电压可以采用等效噪声电阻Rn来表示：

　　V2n?4kT0RnB

　　（2-36）

　　而不相关的噪声电流可以采用等效噪声电导Gu来表示：

　　I2nu?4kT0GUB

　　（2-37）

　　将方程（2-35）、（2-36）和（2-37）代入方程（2-34），并且设：

　　Yc?Gc?jBc

　　Ys?Gs?jBs

　　得出：

　　.专业资料.

　　2-38）2-39）

　　（（..

　　F?1??1?4kT0GUB?GS?jBS?GC?jBC4kT0RnB4kT0GSB2GUR?n[(GS?GC)2?(BS?BC)2]GSGS

　　（2-40）

　　通过正确选择Ys，能够尽可能地减小噪声系数。从方程（2-40）可知，为了减小F可以选择：

　　BS??Bc

　　（2-41）

　　因此，从方程（2-40）得出：

　　FBS??Bc?1?GUR?n(GS?GC)2（2-42）

　　GSGS

　　方程（2-40）中的表达式对于Gs的依赖，能够通过以下条件尽可能地减小：

　　dFBS??Bc?（2-43）

　　dGSdFBS??BcGU[2GB(GB?GC)?(GS?GC)2]??2?Rn?0（2-44）

　　2dGSGSGS

　　（2-45）

　　方程（2-45）和（2-41）中Gs和Bs的大小决定源导纳，此时产生最小(优化)的噪声系数。源导纳的最优值通常表示为Yopt=Gopt+jBopt，即：

　　GS?GC?2GU?Gopt

　　RnYopt?Gopt?jBopt?GC?2GU?jBC

　　（2-46）

　　Rn从方程（2-42）可得，最小噪声系数Fmin等于：

　　Fmin?F（2-47）

　　YS?Yopt?1?GUR?n(Gopt?GC)2GoptGopt.专业资料.

　　从方程（2-45）解出Gu/Gopt，并将其代入方程（2-47），得出：

　　Fmin?1?Rn(GoptGR22?C)?n(Gopt?2GoptGC?GC)?1?2Rn(Gopt?GC)GoptGopt

　　（2-48）

　　利用方程（2-48），方程（2-40）可以表示为：

　　F?Fmin?2Rn(Gopt?GC)?GUR?n[(GS?GC)2?(BS?Bopt)2]

　　（2-49）

　　GSGS从方程（2-45）解出Gu，并代入方程（2-49），F表达式可以简化为：

　　F?Fmin?Rn[(GS?Gopt)2?(BS?Bopt)2]

　　（2-50）

　　由（2-50）式可知，噪声因子与四个等效的二端口网络的噪声参数Rn、GU

　　、GC和BC

　　有关。F依赖于Yopt=Gopt+jBopt和Fmin。当这些数值指定后，噪声系数F的大小将由源导纳Ys决定。该方程也可以表示为：

　　F?Fmin?Rnys?yoptGS2?Fmin?2RnYs?Yopt

　　（2-51）

　　Re[ys]

　　这里，ys=YsZ0是归一化源导纳：

　　.专业资料.

　　ys?YsG?jBS?S?gs?jbs

　　（2-52）

　　Y0Y0yopt是最优源导纳的归一化值：

　　yopt?YoptG?jBopt?opt?gopt?jbopt

　　（2-53）

　　Y0Y导纳ys和yopt可以采用反射系数来表示：

　　（2-54）

　　ys?1??s1?ys即?s?

　　1??s1?ysyopt?（2-55）

　　1??opt1??opt即?opt?1?yopt1?yopt

　　F?Fmin?4rn（2-56）

　　?s??opt2221??opt(1??s)

　　第三章

　　低噪声放大器的主要技术参数

　　3.1引言

　　低噪声放大器是是射频接收机前端的关键部分，它的主要作用有四个[20]：首先，作为接收机的第一级，低噪声放大器应具有比较的的噪声系数；其次，低噪声放大器要有比较大的增益以抑制后级电路的噪声对系统的影响，但也不能过大，否则会使后级的混频器过载；第三，低噪声放大器的输入端必须和前一级电路实现很好的匹配，以达到最小的噪声系数或功率的最大传输；第四，低噪声放大器要有足够大的线性度，以抑止干扰和防止灵敏度下降。低噪声放大器的主要性能.专业资料.

　　指标有[21]：噪声系数（NF）、输入/输出匹配(S11/S21)、增益（S21）、输入三阶交调点（IIP3）等。一般来说，LNA设计中最为关键的指标是噪声系数，其次是增益，功耗和线性度。这些指标都是相互关联甚至互相矛盾的，它们不仅取决于电路的结构，还取决于集成电路的工艺技术，在实际设计过程中要进行折中考虑，才能实现设计要求。

　　3.2噪声系数

　　噪声系数NF(NoiseFigure)和噪声因子F(NoiseFactor)是通信系统中衡量电子电路系统噪声性能的一个重要参数。噪声因子的定义如下：

　　F?(SNR)iP/Ni总输出噪声功率输入信噪比???i由输入源所引入的噪声功率输出信噪比（SNR）Po/Noo

　　(3-1)

　　噪声因子的对数形式称为噪声系数NF,记为：

　　(d)

　　(3-2)第二章中我们已经推导出单级放大器的噪声因子计算公式为：

　　F?Fmin?4rn?s??opt2221??opt(1??s)

　　(3-3)其中，Fmin为最小噪声因子，由晶体管自身决定，Γopt、Γs分别为获得Fmin时的最佳源反射系数和MOS管输入端的源反射系数，rn为MOS管等效噪声电阻。

　　对于一个N级放大器，其噪声因子的计算公式为：

　　F?F1?F2?1F3?1Fn?1??????G1G1G2G1G2?Gn?1(3-4)Fn为第n级放大器的噪声因子，Gn为第n级放大器的增益。可以看到，若第一级的增益G1很大，则F基本上是由F1来决定的，F2以后的噪声因子可忽略。由此可见，第一级放大器的噪声性能起着决定性的作用。

　　LNA的噪声系数自然是越低越好，一般应小于6dB。对共栅型CMOSLNA来说，理论上最小的噪声系数为2.2dB。

　　.专业资料.

　　3.3S参数

　　3.3.1双端口网络的S参数介绍

　　一个系统可以用许多方式来表征。在较低频率时，最常用的表征方法是采用阻抗参数Z或者导纳参数Y，或者这两者的混合。然而在高频时，我们通常用S参数来描述线性网络的特性。S参数也称散射参数，即将事物分散为不同的分量，散射参数用来描述其分散的程度和分量的大小[8]。S参数有两个分量：入射波和反射波，因此S参数是描述入射波和反射波之间关系的参数。

　　3.3.2S参数方程

　　低噪声放大器是一个双端口网络，它的两个端口分别接信号源和负载。我们用4个S参数来描述入射波和反射波之间的关系，即输入端口反射系数S11，输出端口反射系数S22，输入端口向输出端口的正向传输系数S21以及输出端口向输入端口的反向传输系数S12[22]，如下图所示：

　　图3.1二端口网络S参数

　　其中，U1i为输入端入射电压，U1r为输入端反射电压，U2i为输出端入射电压，U1i为输出端反射电压，S参数定义为[23]：

　　S`11?U1rU1iU2rU1iu2i?0，当输出端匹配时，输入端的反射系数；

　　(3-5)S`21?u2i?0，当输出端匹配时，输入端向输出端的正向传输系数；

　　(3-6).专业资料.

　　S`12?U1rU2iU2rU2iu1i?0，当输入端匹配时，输出端向输入端的反向传输系数；

　　(3-7)，当输入端匹配时，输出端的反射系数；

　　(3-8)S`22?u1i?0放大器的S参数方程为：

　　(3-9)

　　11U

　　12U

　　U2r?S21U1i?S22U2i(3-10)

　　从上式可以看出，当U2i=0和U1i=0时，端口2和端口1都没有反射波，这就意味着这时两端的传输线都达到了匹配。因此，对于LNA来说，S11、S22分别代表其输入、输出反射系数[24]，即：

　　S`11?U1rU1iu2i?0??in，S`22?2rU2i

　　(3-11)Uu1i?0??out

　　(3-12)实际中，输入输出阻抗匹配就是通过S11，S22参数来表示的。大多数应用都要求低噪声放大器具有50Ω的输入阻抗，从而使得低噪声放大器的输入可以直接作为片外射频滤波器的终端负载。这是低噪声放大器的设计必须满足的一个性能指标。一般要求S11，S22在-10dB以下，此时认为基本达到了匹配要求。

　　低噪声放大器的增益可以用S参数来表示，由定义知[25]：

　　S`21U?2rU1iu2i?0?U2/Z0(U1?Z0I1)/(2Z0)I2?U2?0???

　　(3-13)用信号源电压UG1和信号源内阻Z0上的电压降之差UG1-Z0Z1替换U1得[25]：

　　UG1(3-14)

　　S?`12同理可得：

　　(3-15)UG2由式（3-14）知，S21表示二端口网络的正向电压增益，其平方值称为正向功率增益。LNA的增益必须足够大。这是因为射频接收机的接收信号一般都是衰减S`21?2U2.专业资料.

　　了很大(-140dBm～-40dBm)或(O．03μV～3mV)的信号，如果放大增益不够大，那么后端的处理会很困难。其次，LNA还要保证其放大增益不超过后端器件的线性范围。一般来说，LNA的放大增益在10～22dB之间。

　　由（3-15）知，S12表示反向电压增益，表征放大器的反向隔离度，其平方值称为反向功率增益，一般情况下值越小越好。

　　3.4功率增益

　　增益是低噪声放大器的另一个重要的指标参数，放大器的功率增益有很多种，如资用功率增益、工作功率增益、转换功率增益等。功率增益的定义为输出功率和输入功率的比值，一般用dB值来表示。

　　(3-16)

　　G`dB?10log(p0/pi)对于低噪放，增益要适中，过大的增益会使接收系统下一级模块的输入过大而产生失真，而为了抑制后面各级的噪声对系统的影响，其增益又不能太小。在实际的设计中，一般取值在15dB～20dB较为合适。

　　3.5线性度

　　线性度是衡量射频电路性能的另一个重要的参数，因为一个低噪声放大器除了在放大信号的同时尽可能不增添更多的噪声之外，还必须保证信号能够不失真地传输。在工程应用中，一般用ldB压缩点PIdB（1dBCompressionpoint）和三阶交调点IIP3（Thirdorderinterceptpoint）来描述射频电路的线性度。

　　当输入信号为x(t)?Acos?1t?Acos?2t，输出信号为：

　　y(t)?a1A(cos?1t?cos?2t)?

　　9a3A2(cos?1t?cos?2t)?43a3A3[cos(?1?2?2)t?cos(?2?2?1)t]??4(3-17)上式中除了基波的线性项外其余的都是我们不希望出现的非线性项。三阶交调点就是用来测量系统的三阶非线性性能。它定义为输出信号中三阶交调项等于.专业资料.

　　基波项时对应的输入信号功率[26]。将输出电压幅值的平方除以输入电阻的两倍就得到:2c1IIP

　　`3?

　　(3-18)

　　3c3RS如下图所示：

　　图3.2三阶交调点

　　输入ldB压缩点是衡量线性度性能的另一个参数，是当输入信号超过一定值时，器件达到饱和，增益不再和输入信号呈线性关系。1dB压缩点是基波项小信号增益相对于线性放大时的增益下降1dB时对应的而输入信号功率，它可以表示为：

　　P`1dB?0.073如图3．3所示:

　　c11c3RS

　　(3-19)

　　图3.3输入

　　ldB压缩点

　　.专业资料.

　　为了确保低噪声放大器处理强信号时具有足够高的线性度，设计电路时应将输入ldB压缩点定为比射频系统的最大输入信号功率高3～4dB。

　　3.6稳定性指标

　　对于低噪声放大器，首先要保证它能稳定地工作，不产生自激振荡，其次才是达到指标，所以稳定性对射频电路来说非常重要。从反射系数的角度考虑，只有当反射系数的模小于1时，系统才是稳定的，即[8]:?1?

　　（3-20）

　　（3-21）

　　（3-24）

　　S12?

　　S21L

　　?in?S11?

　　1?S22?L(3-22)SS?(3-23)?out?S22?2112L?11?S11?L其中

　　??S11S22?S21S12由上式，可得绝对稳定的充要条件为：

　　k?（3-25）

　　1?S112?S222??22S21S12?1且

　　??1其中k为稳定性因子（Rollet因子）。一帮情况下，匹配良好的LNA会比较稳定。

　　.专业资料.

　　3.7功耗

　　功耗是指低噪声放大器在工作中消耗的功率，它与供电电压和供电电流的大小紧密相关。在现代无线通讯中，对低功耗的要求越来越强烈，因此不管是在整体的系统级设计还在具体的模块及电路设计我们都应使功耗尽量最小。一般要求LNA的功耗控制在20mW以下，供电电压控制在3V以下。

　　第四章

　　LNA电路结构的分析和选择

　　国内外研究LNA的拓扑结构主要有四种，分别是：具有并联输入电阻的共源放大器、并联串联放大器、共栅放大器、和电感负反馈的共源放大器[27]。那么究竟哪种电路可以提供较小的功耗？哪种具备低噪声的优势？哪种的结构比较简单易用？为了弄清楚这些问题，必须对这四种结构的电路构成和噪声性能进行深入的研究[28]。

　　4.1输入端并联电阻的共源放大器

　　MOS管共源放大器具有电压增益大和输入电阻输入电容较高的特点（MOSFET的输入阻抗从本质上来讲是电容性的），在共源放大器的输入端并联一个到地的50Ω电阻即可以简单的实现射频系统的阻抗匹配，电路结构图如下：

　　.专业资料.

　　图

　　4.1输入端并联电阻共源放大器结构

　　跨接的到地电阻RP的作用是提供输入阻抗匹配。不考虑MOS管栅源电容Cgs的影响，则图4.1电路的输入阻抗可表示为：

　　Zin?RP

　　（4-1）1sCgs

　　由阻抗匹配知，RP?Rs，Zin可近似为50Ω。

　　电压增益可表示为：

　　AV??1gmRL211?s?in

　　（4-2）

　　上式ωin为输入节点引入的主极点：

　　?in?1(RSRP)Cgs?2RSCgs

　　（4-3）

　　由式（4.2）可知，输入端并联电阻的共源放大器的增益下降为普通共源放大器的一半，而且，遗憾的是，电阻RP会附加上它自己的热噪声并且使MOSFET前的信号衰减（衰减因子为2）。这两种效应结合在一起一般会产生不可接受的高噪声系数。例如，一个800MHzCMOS放大器的噪声系数超过了11dB。

　　比较正式的给出这个电路的噪声系数的推导：

　　.专业资料.

　　如果仅考虑低频时MOS管的沟道噪声，则该LNA电路结构的总输出噪声功率可表示为：

　　22Pnout?kTRSgmRL?f?kTRPgmRL?f?4kT?gd0RL?f

　　信号源内阻所引入的输出噪声功率为：

　　（4-4）

　　PnS?kTRSgmRL?f

　　则该电路的噪声系数为：

　　2（4-5）

　　F?Pnout4?1?2?

　　PnS?gmRS

　　（4-6）给出它的下限：

　　F?2?4?1?gmRS

　　（4-7）

　　这一下限只在低频极限时成立并且完全忽略了栅电流噪声[1]。自然，在较高频率以及考虑栅噪声时，噪声性能更是惨不忍睹。综合以上对低频时的研究，具有并联输入电阻的共源放大器，首先增加了系统的功耗；其次，增益降为普通共源放大器的一半；最后，系统的噪声大大增加。

　　结论：尽管具有并联输入电阻的共源放大器结构比较简单，在一些要求不高的低频设计场合中可以被使用，但并不能称得上是一种性能和噪声较理想的LNA拓扑结构。

　　4.2并联-串联放大器

　　并联-串联放大器是能提供宽带实数输入阻抗的另一个电路。它可以提供一定的输入输出阻抗，调节合适的输入输出阻抗值即可实现设计LNA阻抗匹配的目的。由于之前没有含噪声的衰减器使信号减小，所以可以预见它的噪声系数比图4.1的电路明显要好。

　　.专业资料.

　　具体电路结构如下图：

　　图4.2并联-串联反馈放大器

　　低频时输入阻抗为：

　　Rin?（4-8）

　　RFRL?RF?

　　1?AV1?gmefRL输出阻抗为：

　　Rout?（4-9）

　　RS?RF

　　1?gmefRS在进行电路设计时，可以令RS=RL，并且选取合适的阻值，那么由式（4-8）和式（4-9）可以得到Rin=Rout，可以同时满足输入和输出阻抗匹配。但是另一方面，此种反馈结构增加了两个额外的电阻RF和RE，引入了更多的热噪声，所以噪声性能也不是十分理想。整个放大器的噪声系数虽然一般都要比具有并联输入电阻的共源放大器要好得多，但一般仍超出器件Fmin一个相当的数量（典型地为几个分贝）。然而这一电路提供宽带的能力常常是足够的补偿，所以并联-串联放大器被运用在许多LNA应用中，即使它的噪声系数并不是最小的可能值[1]。

　　结论：并联-串联放大器无需使用较为困难集成的电容和电感，仅使用可以方便集成的电阻就可以实现，工作频带较宽，提高了线性度范围，尽管其噪声性能略差，但是在一些对噪声性能要求不很高并且要求宽带应用（如超宽带UWB）场合，具有很重要的实用价值。

　　.专业资料.

　　4.3共栅放大器

　　实现电阻性输入阻抗的另一种方法是采用共栅结构。共栅放大器具有电压增益大、输入电阻输入电容小和输出电阻大的特点。由于从信号源输入端看进去放大器的输入阻抗为1/gm，只要在设计时选择合适的偏置电流和器件尺寸即可提供所希望的50Ω的电阻。共栅结构图如下：

　　图

　　4.3共栅放大器结构

　　可以推导出其电流增益为1，功率增益为：

　　GP?（4-10）

　　ZL4RS

　　图

　　4.3所示电路中，ZS为MOS管MI源极的偏置电阻。如果仅考虑MOS管的主要噪声——栅噪声，则低频情况下共栅结构的总输出噪声功率可表示为：

　　Pnout??4kT/RS?RL?f?4kT?gd0RL?f（4-11）

　　其中，RL为放大器的输出阻抗。

　　信号源内阻所引入的输出噪声功率为：

　　.专业资料.

　　PnS??4kT/RS?RL?f

　　（4-12）

　　则该电路结构的噪声系数表示如下：

　　（4-13）Pnoutg??1??gd0RS?1??d0?1?PnSgm?

　　我们同样给出它的下限：

　　F?1??

　　（4-14）式中，γ

　　和α

　　为常数。对于长沟道器件，γ

　　≈

　　2/3，α

　　≈1，放大器的噪声系数大约为

　　2.2dB；对于短沟道器件，当γ

　　/α

　　≈

　　2时，噪声系数约为4.8dB。在高频和考虑栅电流噪声时，由于增加了各种寄生效应，噪声系数将明显变差。

　　结论：共栅放大器用来做LNA具有结构简单的优点，可以应用于一些性能要求不是很高的场合。

　　4.4电感源极负反馈放大器

　　4.4.1电感源极负反馈放大器的结构

　　所有以上三种电路都会因在信号路径中存在有噪声的电阻（如沟道电阻）而使噪声系数变差。实际射频设计中应用较为广泛的LNA结构是电感源极负反馈放大器，它是一种具有选频功能的窄带放大器。该电路结构的一个重要优点是我们可以通过选择合适的源极电感来控制输入阻抗实数部分的值从而实现很好的阻抗匹配，因此具有优越的噪声性能和较低的功耗。该结构如下图4.4所示：

　　.专业资料.

　　图

　　4.4电感源极负反馈的共源放大器电路

　　为了简化分析，考虑一个器件模型只包含一个跨导和一个栅-源电容的情况，输入阻抗的计算公式可推导为：

　　Zin?s(Ls?Lg)?（4-15）

　　1sCgs?gm1Ls?s(Ls?Lg)???TLsCgssCgs

　　则：Re[Zin]??TLs

　　谐振频率ω0为：

　　?0?（4-16）

　　1(Ls?Lg)Cgs

　　其中,Lg、Ls为片上平面螺旋电感。输入阻抗就是一个串联RLC网络的阻抗，其中电阻项直接与电感值成正比。因此，为了实现50Ω的阻抗匹配，通过调节电感值使实部等于

　　50Ω，并调谐使电感和电容的值使其在谐振频率ω0处谐振，即虚部为零。这种匹配设计的好处在于用等效电阻gmL来实现与输入端的匹配，Cgs而非引入实际电阻，因而减少了额外的热噪声。

　　结论：综合分析并比较以上四种放大器结构得知，电感源极负反馈放大器是进行窄带LNA设计的最理想的结构。本论文也将以电感源极负反馈这一电路结构.专业资料.

　　为基础，进行2.4GHzCMOSLNA的设计。接下来我们将详细地对这一结构进行研究。

　　4.4.2增益

　　由图4.4可知，低噪声放大器首先将输入功率转换为电流（效率以PCC衡量），然后输出网络再将电流转换为所希望的电压信号或者功率信号。如果输出信号是电压信号，那可以用功率-电压转换效率（PVC）来衡量该放大器将输入功率转换为电压的能力[11]，其定义为

　　2VPVC?outPav（4-17）

　　它具有欧姆的量纲。对于采用LC谐振网络作为负载的放大器，其功率-电压转换的效率为

　　PVC(?)?PCCRL2?R

　　?(T)2(L)?0RS

　　(4-18)2如果输出信号为功率信号，那么可以用功率增益来衡量放大器的增益：

　　Gt?

　　（4-19）PoutPav

　　其中，Pout是负载得到的功率。Gt没有量纲，对于上图所示驱动电阻型负载的情况，负载上所得到的功率为：

　　Pout?iout（4-20）

　　2RL2*2?iout2?LQ.专业资料.

　　输出功率除以2是由于输出匹配网络也消耗了一半的功率，放大器提供的输出功率仅有一半传输到负载上。故采用电阻型负载的放大器功率增益与PCC之间的关系为：

　　Gt?PCC（4-21）

　　4.4.3功率约束噪声优化

　　RL2*2?PCC?LQ对于图4.4所示的放大器，现假设放大器实现了阻抗匹配功能，为了能够分析出所希望的噪声优化技术，我们必须在表示噪声系数时明确地把功耗考虑进去。于是对于规定的一个功耗受限，这种方法应当能够得出使噪声系数最小的最优器件宽度。细节推导有些繁琐，但是结果却极为简单，为了使这一部分的内容完整，我们对其理论做出完整推导如下。

　　我们从经典的噪声理论所给出的噪声系数的一般表达式出发，由式（2-50）知：

　　F?Fmin?（4-22）

　　Rn[(GS?Gopt)2?(BS?Bopt)2]GS

　　为简化推导，令Bs

　　≈

　　Bopt，即假设选择的信号源导纳Bs约等于Bopt，则（4-22）可写为：

　　F?Fmin?（4-23）

　　Rn(GS?Gopt)2GS

　　重新整理Gopt的表达式，以便用品质因子的量纲来定义一个参数：Gopt2???(1?c)?Qopt?Cgs5?

　　（4-24）

　　.专业资料.

　　为了包括由可能工作在信号源电导不同于Gopt的情况，我们定义了一个类似的Q值，其中Gopt

　　用实际的信号源电导Gs来代替：

　　Qs?（4-25）

　　1?CgsRS

　　重新定义式（4-22）的噪声系数公式：

　　F?Fmin?（4-26）

　　(?/?)(1/gm)(Qs?Cgs?Qopt?Cgs)2Qs?Cgs

　　?Fmin?[（4-27）

　　Q?][1?opt]2?gmRsQs

　　式中的α、gm

　　、Qopt和Qs都与功耗有关。然后我们给出漏极电流的一个简单表达式为：

　　ID?（4-28）

　　?nCoxW(Vgs?Vt)[(Vgs?Vt)(LEsat)]2L

　　它可以被重写为：

　　ID?WLCox?satEsat（4-29）

　　?2??1式中，?sat?（4-30）

　　?nEsat2.专业资料.

　　??（4-31）

　　Vgs?Vt?Vod/LEsatLEsat

　　由式（4-29），可以将功耗表示为：

　　PD?VDDID?VDDWLCox?satEsat（4-32）

　　?2??1再进一步，跨导gm可以通过对式（4-29）求导得出。经过重新整理，它可以表示为：

　　1??/2WWgm?[][?CV]??[?CVod]??gd0noxodnoxLL(??1)2（4-33）

　　式（4-27）的参数中与功耗有关的另一个参数为Qs。且Qs是Cgs的函数，而Cgs又是器件宽度的函数。因此可以用式（4-27）求解W，然后把得到的表达式代入到Qs的公式中，可以得到如下结果：

　　（4-34）

　　Po?2Qs?PD(??1)

　　Po?(4-35）

　　3VDD?satEsat2?Rs

　　利用这些表达式，噪声系数可以用ρ和PD

　　表示。在低功率的工作情况下，ρ<<1，最小的噪声系数出现在下式成立时:.专业资料.

　　?2?PoPD2?(1?c)[1?5?7]4（4-36）

　　把式（4-36）代入到式中可以得到在功耗约束情况下达到最小噪声系数时的Qs值：

　　QsP（4-37）

　　?c?3?[1?1?2(1?)]?45?5?c

　　一旦确定了QsP，那么最终推导出最优器件宽度的表达式就为：Wopt@IDS?（4-38）

　　?5??

　　Q?c1????其中，?

　　32?LCoxRsQ

　　??(1?)??42??c3??

　　（4-39）

　　最优噪声因子为：

　　Fmin?1?2.4（4-40）

　　??[]??T

　　第五章

　　LNA电路设计与仿真

　　5.1引言

　　低噪声放大器位于射频接收系统的最前端，它的性能对整个接收机系统的性能起着非常重要的作用。LNA的主要功能是提供足够的增益来放大输入射频信号，.专业资料.

　　并且产生一个较小的噪声，以抑制后续各级电路产生的噪声对信号的影响。此外，LNA作为接收机的第一级，功耗大约为射频前端功耗的一半左右，因此它必须保持低的功耗。除了低噪声和高增益，LNA还应该具有良好的输入输出阻抗匹配来实现最大的功率传输，和较高的线性度，以适应输入信号的变化。

　　本章主要是完成用于接收机的射频前端电路的低噪声放大器CMOSLNA的设计与仿真。先从系统的角度提出低噪声放大器的性能指标，并完成一个单端低功耗（7.6mW）、低噪声系数（4.07dB）的低噪声放大器的设计与仿真。

　　5.2设计指标要求

　　表5—1LNA的设计指标要求

　　电源电压

　　频率范围

　　功耗

　　输入反射系数S11输出反射系数S22增益S21噪声系数nf2输入1dB压缩点

　　稳定系数RolleteK

　　1.8V

　　2.3GHz～2.4GHz

　　≤10mW

　　≤-10dB@2.4G

　　≥13dB@2.4G

　　≤4.5dB

　　≥-15dBm

　　≥15.3单端低噪声放大器的设计

　　低噪声放大器电路由四个部分组成：放大电路、偏置电路、输入匹配网络和输出匹配网络。在设计时，要求在频带内达到低的噪声系数、较高的增益、良好的反射系数和较好的线性度。在这一节中，我们首先将以理论结合实际的形式来.专业资料.

　　介绍单端低噪声放大器的整个设计过程，以及各个参数的选择理由。之后将在下一节给出所设计的电路仿真结果。

　　本章提出的2.4GHzCMOS低噪声放大器采用的是TSMC0.25μmCMOS工艺模型，并使用Agilent公司的射频仿真软件ADS2011进行了电路设计和优化仿真。由于单端结构的LNA比差分结构能节省一半功耗，故本设计采用单端结构。

　　5.3.1主体电路设计

　　根据前面的低噪声放大器设计的理论，我们采用Cascode源端负反馈的经典结构，具体核心电路如图5.1所示（不含偏置电路）：

　　VDDLdVoutVbiasLgCBVinCoxLsM1M2Co1Co2图5.1低噪声放大器结构原理图（不含偏置电路）

　　完整电路图如下：

　　.专业资料.

　　VDDRrefLdM3C3RBIASM2Co1Co2VoutLLLgM1CoxLsVinCB

　　图5.2完整的低噪声放大器结构原理图

　　以上结构中共源MOS管M1为主放大管，M2为Cascode放大管，它们通过电感Ls共用同一路直流电流，从而降低了电流消耗。同时，共栅方式连接的晶体管M2还能减少调谐输出与调谐输入之间的相互作用，以及减少M1的Cgd所引起的密勒效应[1]。Ls为源端负反馈电感，一方面帮助实现输入阻抗匹配，另一方面可以提高电路的线性度。Lg为M1的栅极串联电感。电容Co2为输出负载寄生电容，同Co1与电感Ld形成谐振，既增加了在中心频率处的增益，又额外地提高了非常希望的带通滤波能力[1]。CB为输入端隔直电容，用来防止直流对M1栅—源偏置Vgs的影响。在Lg前端有偏置电压和射频输入信号。

　　图中，电感Lg、Ls和电容Cox构成输入匹配网络，Ld、Co1和Co2构成输出匹配网络，从而保证信号的有效传输。Vbias为MOS管的偏置电压。

　　设计方法如下：

　　首先利用公式确定必要的器件宽度。

　　然后根据功耗约束所允许的电流大小来偏置这个器件。

　　根据相应于这个偏置条件的?T值选择源负反馈电感的值以达到所希望的输入匹配。

　　由此所期望的噪声系数就可以从公式中算出。

　　最后加入足够的电感与栅串联使输入回路在所希望的工作频率下谐振。具体设计如下：

　　（1）根据所用工艺找到各种原始参数。

　　.专业资料.

　　我们用的是TSMC0.25μm工艺，从BSIM3模型参数中我们得知：

　　tox=5.6e-0Vth0=0.445V

　　?n=438cm2/V·S

　　Cgso=5.23e-1Vsat=1.27306e+05?0?r3.9?8.85?10?12??6.16mF/m2，由公式Cox??9tox5.6?10并且可得到?nCox?0.161?10?3（2）计算最优宽度Wopt。

　　由功耗约束噪声优化理论得到的公式（4-38）和（4-39）所示，即

　　Wopt@IDS?32?LCoxRsQ

　　（5-1）

　　??5??3??

　　（5-2）

　　?????c??

　　式中的ω为工作频率2πf=15.09Grps，Rs=50Ω，L=0.25um，代入式（5-1）中可得到最优器件宽度，Wopt=323um（3）根据功耗确定电路的工作电流，从而我们可以确定偏置电压Vbias。

　　由于我们的工作电压定为1.8V，据功耗要求，我们将电路设置工作在10mA左右，之后我们确定过驱动电压（Vds-Vth）为0.331V，则可确定偏置电压Vbias

　　应设置在0.766V。

　　（4）计算最小噪声系数Fmin。

　　由第三步，我们得到偏置电压和工作电流，这时我们可以算出特征频率?T，即单位电流增益频率。计算的步骤如下：

　　.专业资料.

　　gm??nCoxW(Vgs?Vth)L

　　（5-3）Cgs?2WeffLeffCox?CgsoWeff3gmCgs

　　（5-4）?T?（5-5）

　　可得：

　　323gm?0.161?10?3??[0.76?0.445]?0.066s0.25（5-6）Cgs?0.33pf?5.23?10?10?323?10?10?0.33?0.17?0.5pf

　　（5-7）?T?

　　（5-8）gm0.066??132GrpsCgs0.5?10?12可得在这种偏置条件下，MOS管M1的特征频率?T为70G，由最小噪声系数的公式（4-30），我们可以得到：

　　Fmin?1?2.4（5-9）??[]??T

　　?，?是与器件相关的参数，对于CMOS器件，我们一般近似为?=2，?的值在0.8至0.9之间，假设为0.85。

　　.专业资料.

　　Fmin?1?2.4?（5-10）

　　215.09??1.64560.85132则可得到最小噪声系数Fmin约为1.65dB。

　　由这一步的推导我们可以得出一个电路的改进方案用一个Cox

　　在MOS管M1栅源端连接起来，等效与Cgs

　　并联起来，也相应的增加了等效特征频率。这一部分将在输入匹配电路里进行详细讨论。

　　（5）计算各元器件的值。

　　由文献，不难证明输入阻抗具有如下形式：

　　Zin?sL?

　　（5-11）

　　（5-12）1sCgs?gm1L?sL???TLCgssCgs

　　即Re[Zin]??TL

　　加入Lg、Ls后，L?(Lg?Ls)

　　（5-13）由输入阻抗匹配要求,必须满足Re[Zin]=Rs=50Ω

　　gmLs?50即

　　Cgs

　　（5-14）

　　以及S(Ls+Lg)和1/S*Cgs在ω0（2.4GHz）处谐振，即

　　?0?（5-15）

　　1(Ls?Lg)(Cox?Cgs)?2πf0?2π*2.4G

　　接下来就是根据实际情况折衷选择各个元器件的值了。先由(5-14)可得Ls，将Ls

　　代入到（5-15）中，我们就可以得到Lg

　　的值了。关于Ls我们需要说明的是，得.专业资料.

篇三：a∧tlna-a=0

　　关于正态分布的次序统计量的随机序

　　应用概率统计第二十五卷

　　第四期2009年8月

　　ChineseJournalofAppliedProbabilityandStatisticsVo1.25No.4Aug.2009关于正态分布的次序统计量的随机序冰

　　黄永军张新生

　　(复旦大学管理学院统计系,上海,200433)摘要

　　设1,,?一,x和,;,…,x分别服从正态分布N(/~i,0-2)和Ⅳ(,0-2),以(1),x5,分

　　别表示1,?一,和,?一,的极小次序统计量,以),)分别表示l,?一,和,…,

　　的极大次序统计量.我们得到了如下结果:(i)如果存在严格单调函数,使得(,(1),…,f(P))

　　(,(),…,,()),且,),)≥0,则(1)≤txs);(ii)如果存在严格单调函数,使得(,1),

　　一

　　,,(n))(,(:),?一,,()),且f(),”)≤0,~JJx()t).(iii)设l,,…,x和

　　x,;,…,分别服从正态分布N(1z,盯)和Ⅳ(,0-i),若(1/al,…,1/o)(1,…,1/0-~),则有X(Ost五)和()t)同时成立,关键词:正态分布,随机序,优化序,次序统计量.学科分类号:0212.i. 1.引言

　　随机序(Stochasticorders)是当前数理统计中的一个热点研究课题之一,在可靠性检

　　验,对比试验,排队论,精算数学和风险管理等诸多领域,已成为不可或缺的研究方法和

　　有效的决策工具.对于来自异总体的次序统计量的随机序,因其在可靠性检验和对比试验

　　等领域具有广泛的应用,使得它在随机序的研究中备受关注.ProschanandSethuraman(1976),Barbour,LindvallandRogers(1991),Hu(1995),KocharandKorwar(1996),SunandZhangf2005)等对于非负寿命分布的次序统计量的随机序做了大量的研究工作并获

　　得许多有意义的成果.关于正态分布的次序统计量的随机序,早在上世纪六十年代就有

　　Slepian~等式等经典的结驯,但随后相关问题的研究进展较为缓慢.本文针对来自独立

　　正态分布样本的极大与极小次序统计量进行了研究并得到了若干较有意义的新结果.为给

　　出本文的主要结论及相关证明,下面我们首先介绍在本文研究中将要用到的一般随机序,优化序(Majorization)$ilSchur函数的概念和性质.定义1.1([8】)设x和x为两个随机变量,若对任意t∈R,都有P{X>￡)≤

　　P{X>t}成立,则称随机变量在一般随机序意义下小于(记为XtX).下面是关于优化序,弱下优化序和弱上优化序的定义,后两者是优化序概念的推广.国家自然科学基金项目(10671037),上海市重点学科基金(B210)资助

　　本文2006年4月7日收到,2008年5月29日收到修改稿.应用概率统计第二十五卷

　　定义1.2([6】)对正整数2,设A=(Ai,A2,?一,)和入=(,,…,)为两

　　个仉维实向量.令入【1】入【2】…入【】,入入’?’入],入(1)≤入(2)入(),入1)入)…入)为它们的次序统计量.

　　(i)如果

　　∑】∑入对所有的m=1,2,…,n一1成立,(1.1)且∑=∑,则称优化于入(或者称入被优化),用符号mA表示.(ii)如果不等式(1.1)和E九∑成立,则称弱下优化于,用符号入A表

　　——

　　i=1i=1l/J.(iii)如果

　　(t))对所有的m=1,2,…,n一1成立,(1.2)且∑{∑成立,则称入弱上优化于,用符号AwA表示.定义1.3对于R中Sire),=(A1,A2,…,)和=(,;,…,),如果

　　_兀().兀)对所有的m=1,2,…,礼成立,则称Ap-larger于入,用符号ApA表示.容易看出,当,AER时,A>-pAMlnAInA等价,其中1nA=(InA1,InA2,?一,ln),InA=(In,In;,…,In).

　　定理1.1(【6])(i)AA成立当且仅当存在n维向量使得入m和(即

　　对i=1,2,…,n,)成立.(ii)入入成立当且仅当存在礼维向量使得m和工,≥入(即对i=1,2,…,礼,九)成立.为证明本文主要结果,我们还需要给出Schur凸(schur~)函数的定义及其相关结果.定义1.4([6】)设为定义在集合AR上的实函数,如果对于A上所有满足AmA的向量,都有(入)()()成立,则称为集合A上的Schur~(schurIN)数.下面的定理提供TSchur凸(schur凹)函数的充要条件,它在证明中非常有用.定理1.2([6】)设:AR为一阶偏导数存在的实函数,AR扎为置换不变量(即

　　若XEA,则对任意nx佗阶置换矩阵P,有Px∈A成立).则为A上的Schur凸(schur凹)函

　　数的充要条件是:对所有1i≠Jn和任意xEA,有

　　(xi--xj)(一)>(<).成立.第四期黄永军张新生:关于正态分布的次序统计量的随机序

　　 2.主要结果及其证明

　　正态分布(Normaldistribution),又名高斯分布(Gaussiandistribution),是一个在数

　　学,物理及工程等各领域皆非常重要的概率分布.标准正态分布的密度函数为

　　1exp(一萼),∈R.其分布函数通常记为().对任意实数和正实数盯,令X=+aU,则

　　~,(1exp(一),并RE(X)=,Var()=,这时称随机变量服从期望为,方差为2的正态分布,记为

　　一

　　Ⅳ(,(T2).下面我们给出本文的两个主要结论及其证明.定理2.1设1,,…,%和,,…,弼为独立正态随机变量,分别服从Ⅳ(,Or2)和Ⅳ(,),i=1,…,n分布.令a=min(#l,…,,,…,),b:max(itl,…,,

　　,…,itS).如果存在严格单调函数f:【a,b]一一+R满足(.厂(1),…,f(it))m(.厂(:),…,.厂()),我们有如下结论:

　　(a)若f(),()0,则(1)t,.(b)若f(),()0,~jJx(n)stx,.证明:设入1:f(it1),…,入=,(n),入{=,(;),…,入=,().那么l=f-1(入1),…

　　,=f-i(入n),=1-1(入),…,it*=17()且(1,…,入)m(入,…,入),其中

　　f-1()是,()的逆函数.(a)要证明(1)tx),即要证明对任意z∈R,都有x()()一Fx51(z)成立.根据

　　定义1.4,我们只要能证明x(1)的生存函数x…()关于(入1,…,)为Schur凹函数即可.㈤):鱼(1一())=if1=1(1一())对任意∈R,-Fx()()关于,i=1,…,礼的偏导数为

　　!:a()()[(z—f-i(九))/】

　　1一【(—f-i(入t))/】,(,一({))Fx()()【(—i)/】

　　1一【(—it~)/o】,(i)’(2.1)

　　应用概率统计第二十五卷

　　从(2.1)找1『J口J得

　　一

　　aa一

　　一!兰!兰二竺!兰二一

　　af(t),(){1一【(z—pi)/a]}{1一[(—J)/】}×

　　(一)一

　　一

　　Fx()()【(—i)/]【(一)/]一

　　一=可可

　　(,()~+OCe2一2+2t(t—z)]/(2.)dt一,()+e.一+2(t—)】/(2盯.)dt).若,(z),()0,即,(z)>0,,()0或.厂x)<0,,x)0,根据上式分别计算可得)(一)因此x(1)sta).(b)要证明()t),根据定义1.4,我们只要能证明(n)的生存函数()()关

　　于(1,…,)为Schur凸函数即可.㈤=1-P(X㈤=一直,x-#i,)=一直西().对任意z∈R,,(z)关于i,i=1,…,n的偏导数为

　　OFx()()—

　　从(2.2)我们可得

　　一

　　1一Fx()(z)[(z—f-1())/】一

　　二_7—

　　:.(2.2)【(一

　　~i)/o】,()’,…

　　OFxfn1()OFx㈨(z)a九

　　(1一Fx,())[(一t)/]【(—j)/),({).厂()[(—)/】[(一)/]×

　　(一))(1一Fj(,())[(—)/】[(一)/】

　　f(),()[(—1)/】[(一)/]×

　　()..+2卜/(2)..+2卜/(2d).第四期黄永军张新生:关于正态分布的次序统计量的随机序

　　若f().厂x)0,即.厂x)>0,-厂()0或.厂(z)<0,,()0,根据上式分别计算可得)(一)因此()t).口

　　定理2.2设1,X2,…,和,,…,为独立正态随机变量,分别服从N(Z,)和Ⅳ(,CTi.),i=1,…,佗分布.如果(1/1,…,1/)m(1/,…,1/4),则x(1)t)和(n)st)同时成立.biBS:设Ai=1/1,…,=1/,入i=1/,…,入=1/O”n,贝U(1,…,)m

　　(;,…,).要证明(1).ta),根据定义1.4,我们只要能证明(1)的生存函数x(,)()关于(1,…,)为Schur凹函数即可.一

　　Fxo)()=P(()>)=i=1(1一(X--#)):旦n(1_((X--/Z))).对任意ER,Fx…()关于九,i=1,…,佗的偏导数为

　　—

　　OFxo—)(x):一

　　(x-It){(x--It)).(2.3)OAi一

　　1一(入i(—)).’”.

　　从(2.3)我们司得

　　一

　　OAiOAj(—tt)Fx()()((一))(歹(—))/,l一(i(—))1一((—)),(1一({(—)))(1一((—)))(九(一))(J(一))/’

　　对任意>0,容易证明如下不等式成立:e

　　/2dt=仁e/2d1e_X~/2.(2.4)设)=__eX2/2e/2dt,∈Rj则

　　e-4-~9)=xeX://e/dt一1.根据(2.4),可得对任意∈R,有g()≤0成立,从而9()为减函数.由此可得

　　(A~-Aj(一)应用概率统计第二十五卷

　　因此(1)sta).’

　　要证明(n)st),根据定义1.4,我们只要能证明(n)的生存函数x())关于

　　(1,…,)为Schur凸函数即可.)=1-P(X()=1-直圣(x-p,)=1一直t(x--/.z)).对任意∈R,Fx()()关于,i:1,…,礼的偏导数为

　　从(2.5)我们可得

　　:一

　　(x--#)(x--#)).(2.5)—一===一j_『J)O-Fx()()OYx()()—一—

　　一

　　(z一)(1一Fx()())(t(一))((—))/,(i(—))((z—)),O(,Xi(x—))(J(z—))(i(z—))(Aj(一))/’)=.e/2d棚,则):./2厂e/2dt+1.根据(2.4),可得对任意∈R,有h()0成立,从而()为增函数.由此可得)(一)0.(—J)《——一——丢).因此()t1.口

　　 3.结果的推广和推论

　　利用,w}或者,w来代替定理中的条件,m,我们可以把定理2.1的结果推广到一个更加广泛的参数空间.首先,我们需要下面的引理.引理3.1设1,X2,…,‰和f,x,…,为独立正态随机变量,分别服从Ⅳ(,)和Ⅳ(,.),i=1,…,礼分布.如果,i:1,…,n,则(1)sta)Kx()≥st)?证明:按照随机序的定义易于证明此结论成立.口

　　第四期黄永军张新生:关于正态分布的次序统计量的随机序

　　定理3.1设l,,…,和,,…,为独立正态随机变量,分别服从Ⅳ(,0-2)和Ⅳ(,2),i=1,…,礼分布.令a=min(#l,…,,,…,),b=max(N1,…,,

　　,…,).假设函数,:【口,6]R是二次可微的,令,=(JP(1),…,JP()),,=

　　(,{),…,,()),那么成立以下结论:(a)如果,()>0,.厂()0且,w》,则(1)st).(b)如果f()<0,,x)O_Rpiw,则(1)sta).(c)如果,x)>0,.厂x)OKttIw},则)st).(d)如果f()<0,,()o且.

　　,w》,~JIx()stx).证明:(a)设,x)>0,.厂”()0且,w.根据定理1.1可知存在入,=(/(A1),…

　　,I(A))使得Afm且.厂(九),(),i:1,…,礼.设,y2,…,为同1,…,,

　　xf,…,弼相互独立的正态随机变量,服从N(A,2),i=1,…,n分布.根据定理2.1知

　　1)t),再根据引理3.1知1)st(1),因此可得(1)sta).采用类似的方法可以证明(b),(c),(d).口

　　从定理3.1,我们还可以获得以下一些有意义的推论(特例).推论3.1对定理3.1中的随机变量1,…,和,…,,如果1,…,)m

　　;,…,),~lJX(1)≤t五)和(竹)≥st)同时成立.推论3.2对定N3.1中的随机变量1,…,和,…,,如果存在实数a>0使

　　得nw0p,其中8=(nl,…,an),att=(a,…,aI~n),那么

　　(a)若a>1,~IJX(1)t矗1.(b)若0<n<1,则(n)st1.证明:单调函数f(x)=a,当a>1时,有.厂()>0且.厂”()0;当0<a<1时,有,()<0J~kf()≥0.根据定N3.1我们可以得到此结果.口

　　推论3.3对定理3.1中的随机变量l,…,和,…,,设胁>0,>0,i:1,…,n.对于非零实数7-,令=(,…,),JL’=(,…,),那么

　　(a)若7_≥1且w,则(1)t.(b)若0<丁1R,Nx(n)stx,.(c)若丁<0且w,~JJx(n)st1.证明:单调函数f(x)=,z>0,当丁1时,有,()>O且,(z)0;当0<丁1时,有,()>0Vtf()0;当丁<0时,有,()<0且,”()≥0.根据定理3.1我们可以得

　　到此结果.口

　　推论3.4对定理3.1中的随机变NX1,…,xn~xf,…,,设>0,>0,i=1,…,礼.如果(1/1,…,1/#n)p(ilz~,…,1/),则(n)stx).证明:根据定义1.3可知,(1/#1,…,i/.n)p(1/{,…,1/)等价于(1n1/#1,…,

　　In1/#)(In1/,…,In1/).单调函数.厂()=一Inx,有.厂()<0且,()0.根据

　　定理3.1我们可以得到此结果.口

　　388应用概率统计第二十五卷

　　参考文献

　　Barbour,A.D.,Lindvall,T.andRogers,L.C.G.,Stochasticorderingoforderstatistics,App1.Prob.,28(1991),278—286.Hu,T.,Monotonecouplingandstochasticorderingoforderstatistics,s.Sci.Math.Sei.,8(1995),20214.Kochar,S.C.andKorwar,R.,Stochasticordersforspacingsofheterogeneousexponentialrandom

　　variables,t,.MultivariateAna1.,57(1996),69-83.Miiller,A.,Stochasticorderingofmultivariatenormaldistributions,Ann.Inst.Statist.Math.,53(3)(2001),567-575.Miiller,A.andStoyan,D.,ComparisonMethodsIorStochasticModelsandRisks,JohnWiley&Sons,Ltd.WestSussex,2002.Pe6aric,J.E.,ProschanF.andTong,Y.L.,ConvexFunctions,PartialOrderingsandStatisticalAp—

　　plication,AcademicPress,New,rk,1992.

　　Proschan,F.andSethuraman,J.,Stochasticcomparisonsoforderstatisticsfromheterogeneouspopulations,withapplicationsinreliability,MultivariateAna1.,6(1976),608-616.Shaked,M.andShanthikumar,J.G.,StochasticOrdersandtheirApplications,AcademicPress,NewYork,1994.Slepian,D.,Theone-sidedbarrierproblemforGanssianprocesses,BellSystemTech.,41(1962),463-501.Sun,L.andZhang,X.,Stochasticcomparisonsoforderstatisticsfromgammadistributions,MultivariateAnal,,93(2005),112—121.OnStochasticOrdersforOrderStatisticsfromNormalDistributionsHUANGYONGJUNZHANGXINSHENG(DepartmentofStatistics,SchoolofManagement,FudanUniversity,Shanghai,200433)InthispaperweobtainsomenewresultsonstochasticordersfororderstatisticsfromnormaIdistributions.Letl,?一,,,…,beindependentnormalrandomvariableswith五一Ⅳ(,盯)andx一Ⅳ(,012),i=1,…,几.Supposethatthereexistsastrictlymonotonefunctionfsuchthat(,(1),…,,(n))m(,(i),…,,()),weprovethat:(i)if,(),(z)0,then(1).ta1;(ii)if

　　,(.),(z)0,then()t).Moreover,letXi一Ⅳ,2)and一Ⅳ,(Ti),i=1,.一,n.Weobtainthat(1/al,…,l/n)m(1/盯,?一,1/盯)impliesthatx(1)stx)andx()stx.Keywords:Normaldistribution,stochasticorders,majorization,orderstatistics.AMSSubjectClassiflcation:60El5.62G30.

篇四：a∧tlna-a=0篇五：a∧tlna-a=0

　　分??物学鉴定细菌的?法具体操作步骤与注意事项16SrDNA鉴定细菌的?法细菌16SrDNA鉴定主要分为7个部分：1.提取细菌基因组DNA,2.设计/选择引物进?PCR扩增，电泳检测纯度与??。3.琼脂糖凝胶电泳分离4.胶回收?的?段5.?的?段测序。6.BLAST?对获取相似?段。7.构建系统进化树试剂：1、培养基：通常选择组分简单且细菌?长良好的培养基（培养基组分过于复杂会影响DNA的提取效果，也可以在裂解细菌前?TE缓冲液对菌体进?洗涤。）。2、1MTris-HCl(pH7.4,7.6,8.0)（1L）：121.1gTris，加浓盐酸约（70ml,60ml,42ml），?温?盐灭菌后，室温保存。冷却到室温后调pH，每升?1℃，pH?约下降0.03个单位。3、0.5MEDTA（pH8.0）（1L）：186.1gNa2EDTA?2H2O，?NaOH调pH?8.0（约20g）,?温?压灭菌，室温保存。4、10×TEBuffer(pH7.4，7.6，8.0)（1L）：组分：100mMTris-HCl，10mMEDTA。1MTris-HCl（pH7.4，7.6，8.0）取100ml，0.5MEDTA（pH8.0）取20ml。?温?压灭菌，室温保存。1×TEBuffer?10×TEBuffer稀释10倍即可。5、10%SDS（W/V）：称10g，68℃加热溶解，?浓盐酸调pH?7.2。室温保存。?之前在65℃溶解。配置时要戴?罩。6、5MNaCl：称292.2gNaCl，?温?压灭菌，4℃保存。7、CTAB/NaCl（10%CTAB，0.7MNaCl）：溶解4.1gNaCl，加10gCTAB（?六烷基三甲基溴化铵），加热搅拌。?之前在65℃溶解。8、氯仿/异戊醇：按氯仿：异戊醇=24：1（V/V）的?例加?异戊醇。9、酚/氯仿/异戊醇（25：24：1）：按苯酚与氯仿/异戊醇=1：1的?例混合Tris-HCl平衡苯酚与氯仿/异戊醇。10、TAE缓冲液：使?液1×：0.04mol/LTris-?酸，0.001mol/LEDTA。浓储存液50×：242gTris，57.1ml冰醋酸，100ml0.5mol/LEDTA(pH8.0)。11、6×上样缓冲液（100ml）：0.25%溴酚蓝（BPB），40%蔗糖，10mmol/LEDTA(pH8.0)（0.2ml），4℃保存。12、0.6%琼脂糖凝胶：称取0.3g琼脂糖?TAE溶液配置50ml。13、EB：10mg/ml。称取1g溴化?锭定容?100ml。棕?瓶室温避光保存。EB的?作浓度为0.5ug/ml。当配置50ml琼脂糖凝胶时加?EB为2.5ul。（因EB是剧毒物质，?前很多实验室??物荧光染料替代，常?的有Gelred等）14、蛋?酶K：20mg/ml溶于?，-20℃保存，反应浓度50ug/ml，反应缓冲液：0.01mol/LTris(pH7.8),0.005mol/LEDTA,5%SDS，反应温度37-56℃。?需预处理。15、RNaseA：10mg/ml。25mgRNaseA加1MTris（pH7.5）25ul，2.5MNaCl15ul，?菌?2460ul，于100℃加热15分钟，缓慢冷却?室温，分装成?份保存于-20℃。（为避免RNA的?扰，使?RNA酶降解基因组中的RNA。）1.1细菌基因组DNA提取基本步骤：材料准备破碎细胞或胞膜—内容物释放

　　核算分离、纯化沉淀或吸附核酸，并去除杂质核酸溶解在适量缓冲液或?中基因组DNA提取所需仪器：?速冷冻离?机、恒温冰箱、移液器、?平电泳槽、紫外/荧光观测仪细菌基因组DNA提取?法综述细菌基因组DNA的提取?法主要有5种。不同的?法所选择的试剂会有所不同。1快速微量提取法取1.5ml菌体培养物于?灭菌Ep管中，12000rpm离?1min,丢去上清夜，收集菌体。

　　加?400ul裂解液（40mMTris-醋酸，20mM醋酸钠,1mMEDTA,1%SDS,pH7.8）混匀,置于37oC?浴1hr。然后加?200ul5mol/L的氯化钠溶液，混匀后于13000rpm离?15min。取上清液，?苯酚抽提2次，氯仿抽提1次。加两倍体积???醇，1/10体积醋酸钾(3M,pH8.0)，-20度保存1?时后，13000rpm离?15min，弃上清液，沉淀?70%?醇洗2次；置于室温?燥后，溶于50ulTE溶液中，置4℃保存备?。2蛋?酶/SDS法制备

　　?10ml含适当抗?素的GBM过夜培养Delftiasp.4000rpm离?10min收集菌体，?WashingTE（50mmol/LTris-HClpH8.0,10mmol/LEDTApH8.0）洗菌体2次。

　　将菌体充分悬浮在5ml1×TE缓冲液中，先后加?0.5ml5mg/L的蛋?酶、0.5ml10%SDS，轻轻混匀后50℃放置3h-5h。

　　?等体积的Tris饱和苯酚抽提2次，苯酚/氯仿/异戊醇抽提?次，氯仿抽提?次。

　　?醇沉淀DNA。

　　??动移液器吸管头将絮状DNA沉淀块吸附到Ep管中，70%?醇洗2次，?燥后溶于适当1×TE或ddH2O中。3．◆细菌培养：细菌接种于5ml液体培养基中，37℃摇床（300rpm）培养过液。◆细菌收集：取1ml培养物于1.5mlEP管中，室温8000rpm离?5min，弃上清，沉淀重新悬浮于1mlTE（pH8.0）中（?ddH2O也?)。◆菌体裂解：加?6μl50mg/ml的溶菌酶，37℃作?2h。再加2mol/LNaCl50μl，10%SDS110μl，20mg/ml的蛋?酶K3μl，50℃作?3h或37℃过夜。（此时菌液应为透明粘稠液体）。◆抽提：菌液均分到两个1.5mlEP管，加等体积的酚∶氯仿∶异戊醇(25∶24∶1)，混匀，室温放置5-10min。12000rpm离?10min。抽提两次。（上清很粘稠，吸取时应??，最好枪头尖应剪去）。◆沉淀：加0.6倍体积的异丙醇，混匀，室温放置10min。12000rpm离?10。◆洗涤：沉淀?75%的?醇洗涤。◆抽（凉）?后，溶于50μlddH2O中，取2-5μl电泳。作PCR模板?。4.DNAEXTRACTIONPROCEDURE-GENERALGrowcellsovernightin500mlbrothmedium.

　　Pelletcellsbycentrifugation,andresuspendin5ml50mMTris(pH8.0),50mMEDTA.Freezecellsuspensionat-20CAdd0.5ml250mMTris(pH8.0),10mg/mllysozymetofrozensuspension,andletthawatroomtemperature.Whenthawed,placeonicefor45min.Add1ml0.5%SDS,50mMTris(pH7.5),0.4MEDTA,1mg/mlproteinaseK.Placein50Cwaterbathfor60min.Extractwith6mlTris-equilibratedphenolandcentrifugeat10,000Xgfor15min.Transfertoplayertonewtube(avoidinterface).Re-dothisstepifnecessary.Add0.1vol3MNaacetate(mixgently),thenadd2vol95%ethanol(mixbyinverting).SpooloutDNAandtransferto5ml50mMTris(pH7.5),1mMEDTA,200g/mlRNase.Dissolveovernightbyrockingat4C.Extractwithequalvolumechloroform(mixbyinverting)andcentrifugeat10,000Xgfor5min.Transfertoplayertoanewtube.Add0.1vol3MNaacetate(mixgently),thenadd2vol95%ethanol(mixbyinverting).SpooloutDNAanddissolvein2ml50mMTris(pH7.5),1mMEDTACheckpurityofDNAbyelectrophoresisandspectrophotometricanalysis.5．CTAB/NaCl裂解法

　　接两环菌（0.75ml?油管菌液）于25mlLB培养基中，37℃、200r/min培养24h。

　　取1.5ml菌液于1.5mlEppendorf离?管中，8000r/min离?5分钟,弃去上清。

　　加?1.5mlTE离?洗涤后,?567ulTE溶解菌体,混匀。

　　加?30μl10%SDS和3ul20mg/ml的蛋?酶K（100ug/ml），混匀，于37℃温育1h。

　　加?100μl5mol/LNaCl,充分混匀，再加?80μlCTAB/NaCl,混匀,65℃温育10分钟。

　　加?等体积的氯仿/异戊醇(24:1)（0.8ml）,混匀,12000r/min离?5分钟,保留上清。

　　上清中加?等体积的酚∶氯仿∶异戊醇(25∶24∶1)(0.8ml),混匀,12000r/min离?5分钟,保留上清。

　　加?0.6倍的异丙醇（0.48ml）,轻轻混合直到DNA沉淀下来（0.5h）,12000r/min离?15分钟,收集DNA沉淀,?75%?醇(1ml)12000r/min离?5分钟洗涤DNA沉淀，真空?燥0.5h。

　　?50ul双蒸?溶解DNA,加?终浓度为20μg/mlRNaseA，4℃保存。

　　?0.6%琼脂糖凝胶电泳鉴定提取的DNA,每孔点样6μl(4μl样品+2μlloadingbuffer),80V,电泳1.5?时。2.设计选择引物进?16SrDNA的PCR扩增?般细菌鉴定选择通?引物，最常?的通?引物为27F/1492R。

　　27F：5"-AGAGTTTGATCCTGGCTCAG-3"1492R：5"-GGTTACCTTGTTACGACTT-3"2.1实验原理2.1.1PCR多聚酶链式反应(polymerasechainreaction)简称ＰＣＲ技术，是８０年代中期发展起来的?种体外扩增特异ＤＮＡ?段的技术。此法操作简便，可在短时间内在试管中获得数百万个特异的?的ＤＮＡ序列的拷贝，ＰＣＲ技术虽然问世仅数年时间，但它已迅速渗透到分??物学的各个领域，引起了?物技术发展的?次?命，?前它在分?克隆，?的基础检测，遗传病的基因诊断，法医学，考古学等??得到了?泛的应?。ＰＣＲ技术实际上是模拟体内DNA合成过程，是在模板ＤＮＡ，引物和４种脱氧核苷酸存在的条件下依赖于ＤＮＡ聚合酶的酶促合反应，ＰＣＲ技术的特异性取决于引物和模板ＤＮＡ结合的特异性。反应分三步：①变性（denaturation）；②退?（annealing）；③延伸（extension），反应过程见图。PCR（PolymeraseChainReaction)的原理2.1.216SrDNA的核酸序列分析16SrDAN是编码原核?物核糖体?亚基rRNA（16SrRNA）的基因，是细菌分类学研究中最常?、最有?的“分?钟”。16SrRNA的序列?度保守，可精确指?细菌之间的亲缘关系，16SrRNA的??为1500bp左右，所含信息能反映?物界进化关系，易操作，适?于各级分类单元。?前常?的是建?在PCR技术基础上的16SrRNA基因的直接测序法，?便快捷。较之23SrDNA等看家基因?异，它具有分???适中，突变率?等优点，素有“细菌化?”之称。其序列包含10个可变区（variableregion）和与之相同的11个恒定区（constantregion），可变区因细菌?异，且变异程度与细菌的系统发育密切相关。

　　2.1.3PCR法的操作过程

　　Step1:DNA热变性；Step2:引物退?；Step3:引物延伸2.2PCR反应标准体系DNA模板

　　引物

　　反应缓冲液dNTPddH2O

　　耐热聚合酶2.2.1PCR反应体系各组分的作?和使?量及反应条件ＤＮＡ模板：反应中ＤＮＡ量在５０ng～２００ng左右。且ＤＮＡ纯度较?，以增加反应特异性。dNTP:反应体系中达100μM～200μM。Mg2+：Mg2+是Taq酶的辅基浓度在2.0mM左右，浓度太低Taq酶活?降低；太?反应特异性降低。引物：根据?的基因两侧特定序列设计。引物约20碱基左右；Ｇ＋Ｃ含量在40％－70％之间；引物内部不能有回该序列；引物３’端不能互补。Taq酶：它是从嗜热杆菌中提取的耐热性ＤＮＡ聚合酶，在９５℃时３０分钟还有５０％活?。变性温度：在９３～９５℃之间使模板充分变性。复性温度：５５℃左右，此温度选择是根据模板和引物配对结合强弱?定，它是反应特异性的决定因素。延伸温度：７０～７２℃左右，为Taq酶最适反应温度。2.2.2材料设备及试剂

　　设备：eppendorf管、微量取液器、台式?速离?机、电泳仪、电泳槽、凝胶成像系统、PCR仪试剂：16SrDNA引物、细菌基因组DNA、TaqPlus、dNTP、PCR、冲液、琼脂糖、TAE电极缓冲液、LamdarDNA/HindⅢ、染?液、加样缓冲液2.2.3操作步骤PCR反应依次混匀下列试剂5μl10×PCR反应缓冲液1μl4种dNTP2μl上游引物（引物１）2μl下游引物（引物２）1μl模板DNA0.5μlTaqDNA聚合酶38.5μlH2O混匀后离?5秒。扩增：?94℃变性3分钟，94℃变性1分钟，61℃退?1分钟,72℃延伸1分钟,循环30轮,进?PCR。最后?轮循环结束后,于72℃下最后延伸5-10分钟，使反应产物扩增充分。电泳检测：1%琼脂糖凝胶电泳，分析PCR产物电泳结果。3.?试剂盒做琼脂糖凝胶电泳分离和胶回收?的?段?TaKaRaDNA纯化试剂盒对PCR扩增产物纯化4.纯化后的?的?断送到测序公司测序也可以直接将电泳检测后的PCR产物送到测序公司，让公司对产物进?纯化和测序5.BLAST?对获取相似?段。将测序得到的16SrDNA序列在NCBI上进?blast?对，选择与?对序列相似度?的菌株。6.构建系统进化树将选择的序列与测序序列?DNAStar软件的MegAlign构建菌株系统进化树。如果要测16SrDNA的全序列长度则需要对PCR产物做T-A克隆。T-A克隆步骤：PCR连接转化鉴定1.1T-A克隆需要在PCR产物末端加A尾巴有些PCR聚合酶可以在产物末端加A尾巴，但并不是所有的聚合酶会加A尾巴，所以在克隆之前最好搞清楚使?的酶到底是否加A，否则克隆出来的?班太少，?要讨论很久。具有3"到5"外切酶活性的?保真酶就不会产?A尾巴。产物末端加A步骤：??保真酶扩增完之后，在反应管中加?0.7-1unit的Tap聚合酶。?需更换buffer期中的dATP已经够?。在72孵育8-10min。?即进?纯化，沉淀、跑胶、或?纯化试剂盒。这?点相当重要，否则?保真聚合酶会将A尾巴或T载体上的T尾巴切掉。1.2将加A尾巴的PCR产物与T载体连接常?的T载体有Invitrogen的T载体；Promege的pGEM-T和TaKaRa的pMD18-T。

　　1.3将载体与?的?断的连接产物转化到?肠杆菌感受态细胞中进?液体摇床培养，涂平板进?蓝?斑挑选。1.4对挑选的菌落提质粒，电泳检测??，对正确的阳性克隆的质粒进?酶切?的?断回收。?前对于T-A克隆技可以通过T-A克隆试剂盒来完成。细菌16SrDNA鉴定是应注意的问题和常见问题1细胞裂解注意事项1.1材料应适量，过多会影响裂解，导致DNA量少，纯度低1.2选择适当的裂解处理?式1.3?温温浴室定时轻柔震荡2核酸分离纯化2.1采?吸附材料吸附的?式分离DNA时，应提供相应的缓冲体系。2.2采?有机（酚/氯仿）抽提时应充分混匀，但动作要轻柔。2.3离?分离两相时，应保证?定的转速和时间。2.4针对不同材料的特点，在提取过程中辅以相应的去杂质的?法。3核酸沉淀、溶解3.1当沉淀的时间有限时，?预冷的?醇或异丙醇沉淀，沉淀会更充分。3.2沉淀是加?1/10体积的NaAc(PH5.2,3M)，有利于充分沉淀。3.3沉淀后应?70%的?醇洗涤，以除去盐离?等。3.4晾?DNA，让?醇充分挥发。3.5若长期储存建议?TE缓冲液溶解，TE中的EDTA能螯合Mg2+或Mn2+离?，抑制DNase，TE缓冲液PH8.0可以防?DNA发?酸解。4DNA样品不纯，抑制后续酶解和PCR反应4.1DNA中含有蛋?，多糖，多酚类杂质：应重新纯化DNA，去除杂质。4.2DNA在溶解前有酒精残留，酒精抑制后续酶解反应：应重新沉淀DNA，让酒精充分挥发。4.3DNA中残留有?属离?：应增加70%?醇的洗涤次数（2-3次）。5DNA提取量少5.1实验材料不佳或量少：应尽量选择新鲜的材料。5.2破壁或裂解不充分：G+菌裂解前应先??物酶或机械?式破壁；?温裂解时，时间适当延长5.3沉淀不完全：低温沉淀，延长沉淀时间；加辅助物促进沉淀。5.4洗涤DNA时丢失：洗涤时最好?枪头将洗涤液吸出，勿倾倒。6DNA降解6.1未很好的抑制内源核酸酶的活性：可增加裂解液中螯合剂的含量。6.2提取过程操作过于剧烈，DNA被机械打断：细胞裂解后的后续操作应尽量轻柔。6.3外源核酸酶污染：所有试剂??菌?配制，耗材经?温灭菌。6.4反复冻融：将DNA分装，保存于缓冲液中，避免反复冻融。7反应体系对PCR扩增的影响7.1DNA模板：

　　纯度：蛋?、多糖、酚类等杂质会抑制PCR反应完整性：模板降解会导致PCR扩增?产物浓度：加量过多导致?特异性扩增增加7.2引物特异性：长度适当、避免?级结构和?聚体完整性：避免反复冻融浓度：应适当,过?导致?特异性增加,过低则扩增产物太少7.3反应BufferpH值,盐离?浓度稳定剂,增强剂7.4Mg2＋浓度过??特异性严重过低?扩增产物7.4dNTPMixture浓度适当避免反复冻融7.5ddH2OpH值适当避免污染8PCR常见问题与分析8.1?扩增产物现象：正对照有条带，?样品则?原因：1.模板:含有抑制物，含量低

　　2.Buffer对样品不合适3.引物设计不当或者发?降解4.反应条件：退?温度太?，延伸时间太短对策：1.纯化模板或者使?试剂盒提取模板DNA或加?模板的?量2.更换Buffer或调整浓度3.重新设计引物（避免链间?聚体和链内?级结构）或者换?管新引物4.降低退?温度、延长延伸时间8.2?特异性扩增现象：PCR扩增后出现的条带与预计的??不?致，或?或?，或者同时出现特异性扩增带与?特异性扩增带。原因：1.引物特异性差2.模板或引物浓度过?3.酶量过多4.Mg2+浓度偏?5.退?温度偏低6.循环次数过多对策：1.重新设计引物2.适当降低模板或引物浓度3.适当减少酶量4.降低镁离?浓度5.适当提?退?温度或使??阶段温度法6.减少循环次数

篇六：a∧tlna-a=0篇七：a∧tlna-a=0

　　最小二乘法及其应用姜伟，付佳媛（中国传媒大学数据科学与智能媒体学院，北京100024）摘要：最小二乘法是数据优化处理常用的方法之一。本文从微分、几何及概率论三个角度阐释了最小二乘法的原理，并介绍了最小二乘法用于最佳逼近解、参数估计及曲线拟合的理论到实际应用于系统的参数辨识及传感器的温度误差补偿。关键词：最小二乘法；曲线拟合；参数估计；最佳逼近解中图分类号：O241文献标识码：A文章编号：1673－4793（2020）05－0072－07DOI:10.16196/j.cnki.issn.1673-4793.2020.05.012TheleastsquaremethodanditsapplicationJIANGWei，FUJia-yuan（SchoolofDateScienceandInterlligentMedia，CommunicationUniversityofChina，Beijing100024）Abstract：Leastsquaremethodisoneofthecommonlyusedmethodsfordataoptimization．Thepaperex-andintroducesfromthetheoryoftheleastplainstheprincipleofleastsquaremethodfromthreeaspects，parametersestimationandcurvefittingtoitssquaremethodisusedintheoptimalapproximationsolution，actualapplicationtosystemidentificationandtemperatureerrorcompensationofsensors．Keywords：leastsquaremethod；curvefitting；parameterestimation；optimalapproximationsolution《计算彗星轨道的新方法》最小二乘法最早出现在勒让德发表的论著的附录中，在这本书中，勒让德利从而防止了极端情况所施加的过多影响，并且有利于系用最小二乘法使各方程的误差之间建立了一种平衡，勒让德并没将最小二乘法在误差分析方面进行进一步的研究。而高斯则对此统更加接近真实情况。然而，他通过误差函数推出此方法并详尽地给出了其理论依据，并且将其应用于天体方法进行了更深一步的研究，高斯还提供了最小二乘法的优化强于其他方法的证明。随着最小二乘法的出现，它逐运动中。在1829年，是一种非常重要的统计方法。如今，随着矩阵理论的渐在统计学的回归分析及方差分析等上被广泛地应用，最小二乘法应用于更多领域的数据优化处理中，如系统辨识、传感器、支深入研究及计算机技术的不断发展，持向量机等。1最小二乘法最小二乘法是一种数值优化技术，通过使误差平方和最小化，从而得到最佳匹配函数。下面从微分、几何及概率论的三个角度来阐述最小二乘法的原理。作者简介：姜伟（1996－），女（汉族），山东聊城人，中国传媒大学硕士研究生．

　　731.1微分角度分析^=y1），（x2，y2），…，（xn，yn），在一元线性拟合中，设已知模型满足y=ax+b，且已知n组数据（x1，设y^为误差函数。^+b^为拟合函数，ax那么有ε=y－y使误差平方和s=n（yi∑i=1^、^，^i）2最小化，b－y可求参数a这一方法称为最小二乘法。在多元线性回归中，即模型满足Y=a0+a1X1+a2X2+…+anXn，已知随机抽取的n组样本数据｛Xi1，^=a^0+a^1x1+a^2x2+…+a^nxn为拟合函数，^为误差Xi2，…，Xik，Yi|i=1，2，…，n｝，同样设y则有ε=y－yn使误差平方和s=函数，（yi∑i=1^i）2最小化，^0，^1，^n，－y…as也可表示为min‖AX－B‖2a求参数a其中2，x11x21xni………x1n??a0??y1??a1??y2?x2n?X=??，B=???，??????????????xnnanyn??1?1A=????1?∑（??∑（??…??∑（利用多元微分法，使s最小化，即s对各参数进行求偏导等于0，得^0+α^1Xi1+α^2Xi2+…+α^1Xik）=α^0+α^1Xi1+α^2Xi2+…+α^1Xik）Xi1α∑Yi=∑YiXi1∑YiXik^0+α^1Xi1+α^2Xi2+…+α^1Xik）Xik=α2，…，k）。解这个线性方程组（此方程组也称正规方程组），可得k+1个参数的估计值αj（j=1，当n=1时，则退化为一元线性回归。1.2几何角度分析以求上述一元线性回归的参数为例，即求^i）s=∑（yi－yi=1nn2=［yi∑i=12^）］^i+b－（axni=11珒=（x1，珒=（x2，…，xn），首先，求n维向量的长度（即向量的模），设向量x其模xn珒2那么有x∑x2i）2，=x2可观察s的表达式与∑i。i=1珒2的表达式，可得s即向量x?y1??y??2?－?????y?n??x1???x?^?2?+?a????????x?n?1???1??^b????????1??（1）模的平方。那么，要使s最小化，即（1）向量的长度最短。为了更直观，下面以二维空间为例说明：^x^k珒=（y1，珒=（x1，珒=（1，珒－（a珒+b珒y2）T，**2）T，k1）T，）的长度。设向量y求向量y^x^k珒珒珒+b从图1可看，所求向量长度是y到a的最短距离。也可以看出，最小二乘法的几何意义是高维空间的一个向量在低维空间的投影。1.3从概率论角度分析yi）|i=1，2，…，n｝，在n组相互独立的实验中，所得数据为｛（xi，且数据点分布在直线y=ax+b附近。

　　74图1根据概率论知识，在干扰项服从零均值、同方差的正态分布假设下：2yi～N（axi+b，σ）yi的概率密度函数为那么，2πσ槡由于yi是相互独立的，则y的联合密度函数为P（yi）=1e－（yi－axi－b）22σ22L（a，b，y2，…，yn）=σ）=P（y1，1（2π）σnn2e－2σ2∑（yi－axi－b）122在求参数估计值时，根据最大似然原理，使L最大，即使∑（yi－axi－b）最小，则就转化为最小二乘法也就是说，虽然两个方法出发原理不同，但在随机量满足正态分布时，可将最大似然法转化为最小二乘问题。法。22．1最小二乘法的应用最佳逼近解m×nb∈Cm，设A∈C，线性方程组为AX=b。当此线性方程组不相容时，希望求其近似解μ，使得对欧几nn误差‖Aμ－b‖2达到最小。若μ∈C，使‖Aμ－b‖2≤‖AX－b‖2（X∈C），则里得范数‖‖2，m×nb∈Cm，根据矩阵的Moore－Penrose广义逆的性质知，设A∈C，称μ是方程组AX=b的一个最小二乘解。A+是矩阵A的广义逆，X=A+b是AX=b的最佳的最小二乘解。例设一个质点运动的轨迹是椭圆，观测的点（1，1）（0，2）（－1，1）（－1，－2）在同一平面上，求拟合的最佳椭圆方程。22解设椭圆方程α1x+α2y=1，将所观测到的代入得A(α)α12－1?1?0=??1?11414?1???1??α1=???α?1??2?1??()+T可看出矩阵A满秩，则A=（AA）AT，可得

　　75?1A+=???－3?10则可得最小二乘解12－110011017112－1?2?3??10?(α)α12=A+b=()7222从而得到拟合的椭圆方程x+y=1。11112．2参数估计参数估计，即根据已知模型的输入输出数据，对模型参数进行估计的过程。参数估计的方法有许多，最最小二乘法、最大似然法。最小二乘法是以样本数据与估计值之差平方和最小来估常用的方法可分为：矩法、计参数值的一类参数估计方法。2．2．1线性回归的参数估计首先，介绍最小二乘法在一元线性回归中参数估计：yi）|i=1，2，…，n｝，已知一组样本数据｛（xi，由最小二乘法，需样本回归函数尽可能地拟合这组观测数^=ax^+b^，“总误差”最小。也就是样本回归线上的值与观测值设样本回归函数为：y那么据，nn2ins=e∑i=1=（yi∑i=1－yi）2=［yi∑i=12－（ax+b）］（2）^，^，b即计算a使s最小。s对求一阶偏导为0，利用微分方法求解，即得到正规方程组{^，^为b解此线性方程组的参数a∑（yi∑（yi^i－b^）xi=0－ax^i－b^）=0－ax，n∑xiyi－∑xi∑xiyi?a=?2n∑x2?i－（∑xi）?x2?∑i∑yi－∑xi∑xiyi?b=2?n∑x2i－（∑xi）Xi2，…，Xik，Yi）|i=1，2，…，同样，对于多元线性回归的参数估计，可设一组样本观测数据为｛（Xi1，^0+α^1Xi1+…+α^kXik。^i=αn｝（其中k是自变量个数）。设样本回归函数为：Y同一元类似，根据最小二乘法，^0，^1，^k。…，可得参数估计值ααα多元线性回归中的正规方程组的矩阵形式如下：?n??∑Xi1??…?X?∑ik??∑Xi1∑X2i1………\ddots…∑Xik??α0?XX∑i1∑ik????…∑Xik∑Xi1∑X2ik－1?1?X11??α1?…???=?X1k???…?????α???k??1X21…X2k……\ddots…1?Xn1??Y1????…??Y2?…?Xnk??????Y??n?T^=XTY，^=（XTX）即（XX）α求得参数估计值αXTY。

　　762．2．2非线性回归的参数估计在实际的生活问题中，由于研究问题中的变量之间常见的是非线性关系。在这些非线性关系中，有些非X如指数型Y=ab可转化为对应的线性模型lnY=lna+Xlnb，然后根据线性通过一定的方法可转化成线性，最小二乘法原理进行回归分析。有一些则不可转化为线性，那么直接利用非线性最小二乘法进行参数估计。设一组数据符合的非线性^，α），求其参数估计值α过程如下：模型f（X，^一个初始值α^（0），^）在α^（0）处进行泰勒展开，首先，给参数估计值α将f（X，α取一阶近似值，即^）f（Xi，α^（0））^^^－αf（Xi，）f（X，）+（αα≈iα（0）^α^（0）α^）^）f（Xi，αf（Xi，α^^Z（）=，Z（）=。令iα从而有iα（0）根据最小二乘法原理，得^^αα^（0）αs=（3）∑［Yi2^（0））］^（0））－Zi（α^（0））（α^－α－f（Xi，α（4）^（0））+Zi（α^（0））α^（0），^（0）确定则就为一个数，Yi，Yi，其中Yi－f（Xi，α一旦有Xi，α令其为珔则（4）化为s=2^（0））α^］Yi－Zi（α∑［珔^（0））=Zi（α^（0））α^+εi，Yi（α这里就看出它与（2）很像。那么，若构造一个线性回归模型珔就可以利用最小^（1）。从而得到原非线性模型的参数值的一个近似估计值α若得到的值满足要求，则二乘法求参数的估计值，^（1）作为α^的新给定值，则接着将α再进行泰勒展开，进行与上述同样操作，得到第二个迭代停止；若不满足，^（2），依次下去，直至收敛。值α从最小二乘法用于非线性回归模型的过程，可以看出，最小二乘法还是对线性回归模型进行参数估计。2．3曲线拟合曲线拟合，用连续曲线去拟合离散点的数据处理方法，即用近似函数逼近原函数。*yi）|i=1，2，…，n｝，f（xi）∈C［a，b］，已知有一组数据｛（xi，其中yi=f（xi），找一函数h（x）与已知数*…，a，b］上的线性无关的函数族，设φ1（x），φ2（x），φm（x）是C［误差εi=h（xi）－据所形成的曲线拟合。*2，…，n），…，…，yi（i=1，有珗ε=（ε1，ε2，εn），在φ=span｛φ1（x），φ2（x），φm（x）｝中找函数h（x），使2‖珗ε‖2=∑ε2i=∑［h*（x）22－yi］=min∑［h（xi）－yi］h（x）∈其中h（x）=a1φ1（x）+a2φ2（x）+…+amφm（x）（m＜n）。此为曲线拟合的最小二乘法。也就是说，此时的最小二乘问题的目标函数是若干函数平方的和。在解决实际问题时，一般数据中不同点的所占的比重不同，因此考虑对εi加权重，即2S（a1，a2，…，am）=‖珗ε‖2=min2h（xi）－yi］使∑ωi［最小，利用微分法求解，∑ωi［h（xi）h（x）∈2－yi］。S=2∑ω（xi）aii=1nn[∑ajφj（xi）j=1mm－f（xi）]φk（xi）=0nk=1，2，…，mω（xi）∑ajφj（xi）φk（xi）∑i=1j=1m=ω（xi）f（xi）φk（xi）∑i=1aj（φj，φk）∑j=1n=dknk=1，2，…，m其中（φj，φk）=dk≡∑ω（xi）f（xi）φk（xi）。ω（xi）φj（xi）φk（xi），∑i=1i=1772．42．4．1实际应用在系统辨识中的应用系统辨识是现代控制理论的一个分支。随着控制理论应用日益广泛，控制过程复杂程度也在不断增大，并且其实际应用需要被控对象的数学模型。这些模型大多情况下是不知道的，或在正常运行下模型参数会发因此，在控制理论的应用中，首先需要建立被控对象的数学模型，系统辨识正是来解决此问题。生变化。系统辨识是根据系统输入、输出时间函数，从一组给出的模型类中，确立一个能模仿被测系统真实行为经典的系统辨识的方法已经发展得较完善，如相关分析法、谱分析法、最小二乘法等，其中最小的数学模型。应用广泛的一种对于系统模型进行参数估计的方法，可以广泛地应用于动态、静态、线二乘法是最基础的、非线性系统。应用最小二乘法对系统模型参数进行辨识的方法有离线辨识和在线辨识。离线辨识是需要性、用最小二乘法对其进行集中处理，从而可以得到系统模型的参数估计在得到模型的全部输入输出数据之后，在线辨识是在系统运行中的一种递推辨识方法，由于占据计算机存储量小，从而得到广泛应用。值。对于不同的系统进行辨识，它所对应的模型表达不同，以SISO系统为例，y（k）、z（k）分别为系统第k次输入值、e（k）为不相关的白噪声且均其中u（k）、输出真值、输出观测值，G（z）为传递函数。输入输出关系为z（k）=u（k）G（z）+e（k），其中值为0，b1z－1+b2z－2+…+bnz－nB（z）G（z）==，A（z）1+a1z－1+a2z－2+…+anz－nT将系统方程代入输入输出关系式，可得z（k）=φ（k）θ+e（k），其中θ为参数向量。对系统参数进行估利用最小二乘法，得计，NJ（θ）=（Z－φTθ）2∑i=1－1T使J（θ）最小，即J对θ求偏导等于0，从而得最小二乘估计值θ=（φφ）φZ。最小二乘法进行系统辨识也有一定的局限性，当系统噪声为有色噪声时，最小二乘估计值不是无偏一因此会在最小二乘的基础上进行改进，从而会有广义最小二乘法、递推最小二乘法等进行系统辨识的致的，参数估计。2．4．2在传感器上的应用传感器是一种将感受到的信息按一定规律转化成便于处理和传输的信息的检测装置。根据感知功能不传感器可分为温度传感器、力传感器及光传感器等。由于感受器在输入到输出过程中会受到外界除所要同，从而对于结果的精确度会有一定的影响。因此，制作高精度的传感器，需要对其进接受信息以外信息的影响，本文介绍利用最小二乘法对压阻式压力传感器进行温度误差补偿。行误差补偿。压阻式压力传感器是利用半导体的电阻率随应力变化的性质而制成的半导体器件。在被测压力作用电阻率发生变化，从而产生电压输出。在压力值不变的情况下，外界的一些其他因素会对输出的电压产生时，其中由于半导体受温度较大，从而环境温度变化较大会使误差较大。因此，需要对传感器进行温度误差影响，对于压阻式压力传感器的温度补偿，有硬件补偿和软件补偿，其中硬件补偿存在调试不变、精度不足等补偿。而软件补偿会克服这些不足，因此会受到越来越多人的关注。软件补偿的方法有神经网络、插值法、最缺陷，小二乘法等。P2，…，Pn），t2，…，tm），设压阻式压力传感器的标准压力输入值为P=（P1，标准温度为T=（t1，在此状

　　78n态下进行标定，从而得相应的静态输出值为U=（uij）2n×m。根据最小二乘曲线拟合方法，即使∑（Ptj（U）－i=1P）最小，得到不同标准温度下的曲线方程，再次使用最小二乘法会得到最终的温度补偿模型。最小二乘法但精度不是很高，为了提高精度，一般会将最小二乘法与插值法进行结合来对传感器进行温度误差速度快，补偿。除以上应用外，它还会应用于其他许多领域，如高光谱图像数据处理、经济预测、农业实验分析等领域。不过，每一种方法都会有它的局限性存在，最小二乘法的局限性在于：对异常值很敏感；没有考虑自变量的误因此，许多研究者会对最小二乘法进行进一步的改进，从而可以使它应用于更多差；存在不可求解的情况等。即会出现基于普通最小二乘法的广义最小二乘法、加权最小二乘法、两阶段最小二乘法等。在实际的应领域，还会结合实际情况与其他方法相结合进行应用。用中，参考文献［1］J］．西北大学学报（自然科学版），2006，36（3）：贾小勇，徐传胜，白欣．最小二乘法的创立及其思想方法［507－510．［2］M］．北京：高等教育出版社，2010：448－460．茆诗松，程依明，噗晓龙．概率论与数理统计教程［［3］M］．北京：高等教育出版社，2015：37－66．李子奈，潘文卿．计量经济学［［4］J］．数学的实践与认识，2015，45（4）：124田生昌．最小二乘法的统计学原理及在农业实验分析中的应用［－132．［5］M］．北京：清华大学出版社，2005：322－327．陈宝林．最优化理论与算法［［6］M］．武汉：华中科技大学出版社，2005：105－108．杨明，刘先忠．矩阵论［［7］M］．北京：清华大学出版社，2008：73－78．李庆杨，王能超，易大义．数值分析［［8］J］．北京建筑工程学院学报，2004，20（3）：19－21．刘静纨．最小二乘法在系统辨识中的应用［［9］J］．科研教育，2017，362：39－40．顾玮．基于最小二乘法的系统参数辨识［［10］J］．电子设计工程，2013，21（10）：90－92．杨雪，刘诗斌．压力传感器温度补偿各种算法的比较分析［［11］J］．仪表技术与传感器，李冀，胡国清，周永宏，邹崇，吴翩卉．一种压阻式压力传感器的温度补偿方法［2018，6：90－92．（责任编辑：龙学锋）

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